公式

公式一箩筐

条件概率

$P(A|B)$表示$B$事件发生的前提下$A$事件发生的概率。假设$P(B)>0$，那么

$$P(A|B) = \frac {P(AB)}{P(B)}, P(AB) = P(B)P(A|B)$$
于是可以很熟练： $P(AB) = P(BA) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A)$

全概率公式

$$P(A) = P(AB) + P(A \overline{B}) = P(A)P(B|A) + P(A)P(\overline{B} A) = \ldots = \sum_{i=1}P(A|B_i)P(B_i)$$

这里的$B_i$ 之间必须满足两两相互独立，且有 $\sum_{i=1} B_i = \Omega(即整个样本空间)$ ，而$A \subseteq \Omega$ 。

贝叶斯公式(法则)

考查给定A事件的情况下B事件发生的概率，于是有

$$P(B|A) = \frac {P(BA)}{P(A)} = \frac {P(B)P(A|B)}{P(A)}$$
结合全概率公式，有
$$P(B_j|A) = \frac {P(B_j)P(A|B_j)}{\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)}$$
同样全概率公式的先决条件需满足。

二项分布

某个事件A在实验中发生的概率是p，那么重复试验n次，那么A发生k次的概率服从二次分布$B(n,p)$

$$p_k = C_n^k p^k(1-p)^{n-k}, i=0,1,2, \ldots , n$$

最大似然法估计(maximum likelihood estimation, MLE)

用相对频率作为概率的估计值。若投硬币100次，正面朝上51次，采用MLE我们用相对频率0.51作为正面朝上的概率。