P2051 [AHOI2009]中国象棋（神奇的dp）

原题： https://www.luogu.org/problemnew/show/P2051

题意： n*m的棋盘，放任意数量的炮，要求没有一个跑会被吃，求放法的数量。

解析：

直接爆搜100*100是不行的，只能dp了。没想到这个dp其实挺难的，要先想好各种放法之间的关系。

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对于一种放法分析，交换其任意两列或两行会得到另一种合法的放法。也就是说任意两列的位置关系不重要。

而在行不冲突（不超过2个）的情况下，列的状态只有3种：0、1、2。那么dp可以开两维（另一维用m减去前两维）存这三种状态的列数量。

怎么样保证行不冲突呢？ 我们一行一行枚举就行了，一行一行做，放0、1或2个。就永远不会超过2个了。

dp[行下标 i][0数量 j][1数量 k]表示到i行为止，j列0个棋子，k列1个棋子的放法。

转移方程：

1. 不放： $dp[i][j][k]+=dp[i-1][j][k]$
2. 放一个：
   1. 在0列： $dp[i][j-1][k+1]+=dp[i-1][j][k]*j$
   2. 在1列： $dp[i][j][k-1]+=dp[i-1][j][k]*k$
3. 放两个：
   1. 在0列： $dp[i][j-2][k+2]+=dp[i-1][j][k]*C_j^2$
   2. 在1列： $dp[i][j][k-2]+=dp[i-1][j][k]*C_k^2$
   3. 0、1各一个： $dp[i][j-1][k]+=dp[i-1][j][k]*j*k$

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AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL dp[2][109][109];//滚动数组
const LL mod =9999973;
int main(){
    int n,m;cin>>n>>m;
    int f=0;
    dp[!f][m][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        memset(dp[f],0,sizeof dp[f]);
        for(int j=0;j<=m;j++){
            for(int k=0;j+k<=m;k++){
                dp[f][j][k]+=dp[!f][j][k];
                if(j)
                dp[f][j-1][k+1]+=dp[!f][j][k]*j;
                if(k)
                dp[f][j][k-1]+=dp[!f][j][k]*k;
                if(j>1)
                dp[f][j-2][k+2]+=dp[!f][j][k]*j*(j-1)/2;
                if(k>1)
                dp[f][j][k-2]+=dp[!f][j][k]*k*(k-1)/2;
                if(j&&k)
                dp[f][j-1][k]+=dp[!f][j][k]*j*k;
            }
        }
        for(int j=0;j<=m;j++){
            for(int k=0;j+k<=m;k++){
                dp[f][j][k]%=mod;
            }
        }
        f=!f;
    }
    LL ans=0;
    for(int j=0;j<=m;j++){
        for(int k=0;j+k<=m;k++){
            ans+=dp[!f][j][k];
        }
    }
    printf("%lld\n",ans%mod);
}