Missile Defence System[POJ3700]

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题面描述

思路

首先我们要限制搜索深度。
由题意可知，我们需要多个非递增或非递减的序列来覆盖所有导弹(有时间顺序)
对于我们当前状态，我们选择先找到一个非递增或非递减的序列将它填进去。
或者后新建一个非递增或非递减的序列将它填进去。
利用贪心的思想可以很容易证明上面结论。
为了方便，我们统一定义先进行非递减序列插入操作。

int h=0,choice=0;//up
bool v_up=false;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
	int tail=f[i][0];
	int state=f[i][1];
	if(tail<=a[idx]&&tail>h&&state==0)
	{			
		h=tail;choice=i;
	}
}

这里为什么要 $\operatorname{tail>h}$ 呢？
其实这句话本意是为了找到非递减序列中，最后一个数最接近 $a[idx]$ 的序列，将数安排进这个队列里。
也可以利用贪心的思想来证明:
设现有两个数 $x_1,x_2$ ， $x_2$ 后于 $x_1$ 插入队列，现有两个非递减队列最后末尾数 $s_1,s_2$ ,且 $s_1<x_2<s_2<x_1$ ，此时最优解就是 $2$ .
但如果将 $x_1$ 插入 $s_1$ 所在队列中，则会导致此时解为 $3$ .
所以我们可以得出一个结论:
对于较大的数要进入非递减序列中，我们要将它放在众多序列中末尾数最大的序列上。
因为这样可以使未来较小的数，有更多的机会进到队列中去，而不是选择去新开队列。
同样，对于非递减队列也是如此。

for(int i=1;i<=m;i++)\\down
	{
		int tail=f[i][0];
		int state=f[i][1];
		if(tail>=a[idx]&&tail<h&&state==1)
		{
			h=tail;choice=i;
		}
	}

若两种方案都不行
则新开队列。

if(!v_up)
	{
		f[++m][0]=a[idx];
		f[m][1]=0;
		if(dfs(idx+1))return true;
		--m;
	}
	if(!v_down)
	{
		f[++m][0]=a[idx];
		f[m][1]=1;
		if(dfs(idx+1))return true;
		--m;
	}

完整代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
using namespace std;
const int N=110;
int f[N][2],a[N];
int n,m,ans;
bool dfs(int idx)
{
	if(m>ans)return false;
	if(idx==n+1)return true;
	int h=0,choice=0;//up
	bool v_up=false,v_down=false;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int tail=f[i][0];
		int state=f[i][1];
		if(tail<=a[idx]&&tail>h&&state==0)
		{
			h=tail;choice=i;
		}
	}
	if(choice)
	{
		f[choice][0]=a[idx];
		if(dfs(idx+1))return true;
		f[choice][0]=h;
		v_up=true;
	}
	h=1e9;choice=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int tail=f[i][0];
		int state=f[i][1];
		if(tail>=a[idx]&&tail<h&&state==1)
		{
			h=tail;choice=i;
		}
	}
	if(choice)
	{
		f[choice][0]=a[idx];
		if(dfs(idx+1))return true;
		f[choice][0]=h;
		v_down=true;
	}
	if(!v_up)
	{
		f[++m][0]=a[idx];
		f[m][1]=0;
		if(dfs(idx+1))return true;
		--m;
	}
	if(!v_down)
	{
		f[++m][0]=a[idx];
		f[m][1]=1;
		if(dfs(idx+1))return true;
		--m;
	}
	return false;
}
int main()
{
	while(scanf("%d",&n)&&n)
	{
		ans=1;
		for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
		while(1)
		{
			m=0;
			if(dfs(1))break;
			ans++;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}