洛谷 P2704 [NOI2001]炮兵阵地

JDOJ 1105: 炮兵阵地

JDOJ 1508: [NOI2001]炮兵阵地

Description

司令部的将军们打算在NM的网格地图上部署他们的炮兵部队。一个NM的地图由N行M列组成，地图的每一格可能是山地（用“H” 表示），也可能是平原（用“P”表示），如下图。在每一格平原地形上最多可以布置一支炮兵部队（山地上不能够部署炮兵部队）；一支炮兵部队在地图上的攻击范围如图中黑色区域所示：

如果在地图中的灰色所标识的平原上部署一支炮兵部队，则图中的黑色的网格表示它能够攻击到的区域：沿横向左右各两格，沿纵向上下各两格。图上其它白色网格均攻击不到。从图上可见炮兵的攻击范围不受地形的影响。　

现在，将军们规划如何部署炮兵部队，在防止误伤的前提下（保证任何两支炮兵部队之间不能互相攻击，即任何一支炮兵部队都不在其他支炮兵部队的攻击范围内），在整个地图区域内最多能够摆放多少我军的炮兵部队。

Input

第一行包含两个由空格分割开的正整数，分别表示N和M；接下来的N行，每一行含有连续的M个字符（‘P’或者‘H’），中间没有空格。按顺序表示地图中每一行的数据。 N≤100；M≤10。

Output

仅在第一行包含一个整数K，表示最多能摆放的炮兵部队的数量。

Sample Input

5 4 PHPP PPHH PPPP PHPP PHHP

Sample Output

题解：

众所周知，这是一道状压\(DP\)的题目。

众所周知，设计状态的时候要考虑边界。

不能死脑筋，一做状压就想之前的题只设计了前面一个状态来转移，这道题不一样。为什么呢？就像斐波那契数列的递推式：\(f[i]=f[i-1]+f[i-2]\)。这个转移是和前两个数有关的。同理，因为这台意大利炮能打前面两格，所以设计状态的时候自然就要把两个状态压进去：现在的和前一个。

那么由此得出状态：

\(dp[i][j][k]\)表示行数为\(i\)、当前状态为\(j\)、上一状态为\(k\)时的最大炮数。

这里状态0/1表示的不是能不能被炮攻击到，而只是单纯的有没有炮（如果按前面的设置状态的话没法统计答案）。

然后我们考虑转移的条件。有两个条件限制了我们转移：第一种是本来就不能放大炮。即山地的情况。第二种是因为容易被其他大炮打到，所以不能放大炮。

类比于USACO玉米田的一道题，我们可以在输入的时候直接处理出初始状态，即山地肯定不能放炮。用\(F[i]\)数组存储。

但是我们发现了一个问题。。这么设置状态所需的空间是：100 1024 1024。。必爆无疑。

怎么办呢？

在此介绍动态规划中的常用优化方法：滚动数组。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,cnt;
int map[110][20];
int dp[110][70][70];
int F[110];
int num[110],st[110];
//dp[i][j][k]表示行数为i，状态为j、上一行状态为k的时候最多摆放的炮兵部队的个数。
int lowbit(int x)
{
    int ret=0;
    while(x)
    {
        x-=(x&(-x));
        ret++;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            char a;
            cin>>a;
            if(a=='H')
                map[i][j]=1;
            F[i]=(F[i]<<1)+map[i][j];
        }
    st[++cnt]=0;
    for(int i=1;i<(1<<m);i++)
    {
        if(i&(i<<1))
            continue;
        if(i&(i<<2))
            continue;
        if(i&(i>>1))
            continue;
        if(i&(i>>2))
            continue;
        st[++cnt]=i;
        int tmp=i;
        num[cnt]=lowbit(tmp);
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        if((st[i]&F[1])==0)
            dp[1][i][0]=num[i];
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        if((st[i]&F[2])==0)
            for(int j=1;j<=cnt;j++)
                if((st[i]&st[j])==0 && (st[j]&F[1])==0)
                    dp[2][i][j]=num[i]+num[j];
    for(int i=3;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
            if((st[j]&F[i])==0)
                for(int k1=1;k1<=cnt;k1++)
                    if((st[j]&st[k1])==0 && (st[k1]&F[i-1])==0)                  
                        for(int k2=1;k2<=cnt;k2++)             
                            if((st[j]&st[k2])==0 && (st[k1]&st[k2])==0 && (st[k2]&F[i-2])==0)
                                dp[i][j][k1]=max(dp[i][j][k1],dp[i-1][k1][k2]+num[j]);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
            ans=max(ans,dp[n][i][j]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

NOI 2001 炮兵阵地