斐波那契数列（剑指offer）

原文链接：
斐波那契数列的递归算法与非递归算法

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以下皆为转载。

一、斐波那契数列

由于斐波纳挈数列是以兔子的繁殖引入的，因此也叫“兔子数列”。它指的是这样一个数列：0,1,1,2,3,5,8,13……从这组数可以很明显看出这样一个规律：从第三个数开始，后边一个数一定是在其之前两个数的和。在数学上，斐波纳挈数列可以以这样的公式表示：
F(0) = 0
F(1) = 1，
F(n) = F(n-1) + F(n-2),(n>=2)

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1。递归算法：

int Fibonacci(int n)
{
    if(n==0)
        return 0;
    if(n==1)
        return 1;
    return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);

}

方法二：

//作者：结晶的冰
//链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/c6c7742f5ba7442aada113136ddea0c3
//来源：牛客网


int Fibonacci(int n) {
        if(n==0)
            return 0;
        else if(n==1||n==2)
            return 1;
        else if(n==3)
            return 2;
        else
            return 3*Fibonacci(n-3)+2*Fibonacci(n-4);
    }

这样的递归算法虽然只有简单的几行，但是效率却很低。为什么呢？我们可以分析其递归调用的时间复杂度：
时间复杂度 —– O(2^N)。

2。非递归算法：

所以，如果在时间复杂度和空间复杂度都有要求的话，我们可以用以下两种非递归算法来实现：

1）：时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(N)

创建一个数组，每次将前两个数相加后直接赋给后一个数。这样的话，有N个数就创建一个包含N个数的一维数组，所以空间复杂度为O(N)；由于只需从头向尾遍历一边，时间复杂度为O(N)。

long long* Fib2(long long num)
{
    assert(num >= 0);
    //非递归
    long long* array = new long long[num+1];
    array[0] = 0;
    array[1] = 1;
    for (int i=2; i<=num; i++)
    {
        array[i] = array[i-1] + array[i-2];
    }
    return array;
}

2）时间复杂度为O(N)，空间复杂度为O(1)

借助两个变量 first 和 second ，每次将 first 和 second 相加后赋给 third ，再将 second 赋给 first ，third 赋给 second，如此循环。

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;

int Fibonacci(int num)
{
    if(num==0)
        return 0;
    if(num==1)
        return 1;

    int first = 0;
    int second = 1;
    int third;
    for(int i=2; i<=num; i++)
    {
        third = first + second;
        first = second;
        second = third;
    }
    return third;
}

int main()
{
    cout<<Fibonacci(39)<<endl;
    system("pause");
    return 0;

}

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