位运算的常用技巧

位运算的常用技巧

1. 取出x的第i位。

   y = (x>>(i-1))&1;
   

   例如：x = 22; $(22)_{10}$ = $(00010110)_2$ ，假如判断第2位是否为1，令 $i = 2$ ， 则 $y = (x>>(2-1)) \& 1$ 将 $x$右移一位变成 $(00001011)_2$ 与 $1$ 进行 $\&$运算。变成1。 所以 $x=22$的第 $2$位上是 $1$。
   注意：这里都假设一个数占8位。
2. 将x的第i位取反。

   x ^= 1<<(i-1);
   

   例如：x = 22; $(22)_{10}$ = $(00010110)_2$ ，假如将第2位取反。令 $i = 2$ ，则 $1<<(2-1)$ 等于 $(2)_{10}$= $(00000010)_2$，然后与 $(22)_{10}$ = $(00010110)_2$进行异或操作，相同取0，不同取1。 $(00010110)_2$ ^ $(00000010)_2$ = $(00010100)_2$。
3. 将x的第i位变为1。

   x |= 1<<(i-1);
   

   例如：x = 22; $(22)_{10}$ = $(00010110)_2$ ，假如将第1位取反。令 $i = 1$ ，则 $1<<(1-1)$ 等于 $(1)_{10}$= $(00000001)_2$ ，然后与 $(22)_{10}$ = $(00010110)_2$进行或操作，有 $1$则 $1$，都不为 $1$则是 $0$。 $(00010110)_2$ | $(00000001)_2$ = $(00010111)_2$。
4. 将x的第i位变为0。

   x &= ~(1<<(i-1));
   

   例如：x = 22; $(22)_{10}$ = $(00010110)_2$ ，假如将第2位取反。令 $i = 2$ ，则 $(1<<(2-1))$ 等于 $(2)_{10}$= $(00000010)_2$ ，然后将 $(10)_2$取反变成 $(11111101)_2$，再与 $(22)_{10}$ = $(00010110)_2$进行与操作，有 $0$则 $0$，都不为 $0$则是 $1$。 $(00010110)_2$ & $(11111101)_2$ = $(00010100)_2$。
5. 将x最靠右的1变成0。

   x = x&(x-1);
   

   例如：x = 22; $(22)_{10}$ = $(00010110)_2$ ， $x-1 = 21$; $(21)_{10}$ = $(00010101)_2$ $(00010110)_2$ & $(00010101)_2$ = $(00010100)_2$ ，可以看出最右侧的1变成了0。
   可以用这个语句判断x内有几个1。代码：

   int cnt = 0;//记录n的二进制形式中1的个数
   while(n)
   {
       n = n&(n-1);
       cnt++;
   }
   

6. 取出x最靠右的1。

   y = x&(-x);
   

   例如：x = 22; $(22)_{10}$ = $(00010110)_2$ ， $(-22)_{10}$ = $(11101010)_2$， $(00010110)_2$ & $(11101010)_2$ = $(00000010)_2$ ，取出最右侧的 $1$在第二位。
7. 把最靠右的0变为1。

   x|=x+1
   

   例如：x = 22; $(22)_{10}$ = $(00010110)_2$ ， $x+1 = 23$; $(23)_{10}$ = $(00010111)_2$， $(00010110)_2$ | $(00010111)_2$ = $(00010111)_2$ ，最右侧第1位的 $0$变成了 $1$。
8. 判断是否有两个连续的1。

   if(x&(x<<1)) cout << "YES";
   

   例如：x = 22; $(22)_{10}$ = $(00010110)_2$ ， $(x<<1)$ = $(00101100)_2$， $(00010110)_2$ & $(00101100)_2$ = $(00000100)_2$ ， $(00000100)_2$ = $4_{10}$ 为真， 存在两个连续的 $1$. 注意：结果不能表示在第几位上有连续的1。

C++的使用

如果位移操作在C语言项目下不能使用，可以创建一个C++项目，在C++项目下一定可以使用。下面写一下C++项目的创建与使用。

C++项目的创建

C++项目的创建与C语言的不同：在选择语言的时候选择C++

C++项目的使用

C++项目的使用与C语言的不同：在头文件下加一句“using namespace std;” 使用这个命名空间。

其他的都像C语言一样使用就可以了。

训练学习第五天题解集

A.Binary Numbers

#include<cstdio>
using namespace std;

int main()
{
 int t;
 scanf("%d", &t);
 while(t--)
 {
     int n;
     scanf("%d", &n);
     bool flag = true;
     for(int i = 1; i <= 23; i++)
     {
         if((n>>(i-1))&1) //判断第i位是否是1
         {
             if(flag)
             {
                 flag = false;
                 printf("%d", i-1);
             }
             else
                 printf(" %d", i-1);
         }
     }
     printf("\n");
 }
 return 0;
}

B.Lowest Bit

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d", &n)&&n)
    {
        int ans = n&(-n);//取出n最靠右的1.
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

C.Secret Origins

题意：给你一个数n，要求你找到一个数m，m的二进制数内 $1$的个数和n的二进制数内 $1$的个数一样且大于n的最小的数。
题解：找到一个数的二进制数的第 $i$位是 $1$和第 $i+1$位是 $0$的位置。将第 $i+1$位变成1，将第 $i$位变成 $0$.然后查看第 $i$位之前 $1$的数量，分别将其放到不为1的最低位。例如：n=46， $(46)_{10}$ = $(00101110)_2$ ，在第 $4$位是 $1$，第 $5$位是 $0$，将第 $5$位变成1，将第 $4$位变成 $0$.变成 $(00110110)_2$，在第 $2$位、第 $3$位上有 $1$，分别将其放到不为1最低位，变成 $(00110011)_2$ = $(51)_{10}$.

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    int cas = 0;
    while(t--)
    {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        int inde = -1;
        for(int i = 1; i <= 31; i++)
        {
            if(((n>>(i-1))&1)&&!((n>>(i))&1)) //找到第i位是1，第i+1位是0
            {
                inde = i;
                break;
            }
        }
        n |= 1<<(inde); //将第i+1位变成1
        int cnt = 0;
        for(int i = 1; i <= inde; i++)
        {
            if((n>>(i-1))&1)
            {
                cnt++; //在第inde位以及之前1的个数
                n &= ~(1<<(i-1)); //将第i位变成0
            }
        }
        for(int i = 1; i < cnt;i++)
        {
            n |= 1<<(i-1); //将cnt-1个低位变成1
        }
        printf("Case %d: %d\n", ++cas,n);
    }
    return 0;
}

D.Parity

#include <cstdio>
using namespace std;

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    int cas=0;
    while(t--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        int cnt = 0;
        while(n)
        {
            cnt++;
            n = n&(n-1);
        }
        if(cnt&1)
            printf("Case %d: odd\n",++cas);
        else
            printf("Case %d: even\n",++cas);
    }
    return 0;
}

E.Nim游戏

Nim游戏经典博弈题。
结论：异或为 $0$，则先手败，否则后手败。
简单推理：假如异或结果ans为 $0$(记为状态1)，那么先手取出多少，后手就取出多少，两个人取出的石子个数的异或是 $0$，则剩下的石子的个数的异或也是 $0$(记为状态2)，可以发现状态1和状态2的结果一样，可以得出异或为 $0$的情况下，先手必败。那么假如异或结果ans不为 $0$(记为状态3)，先手可以首先取出ans个石子，剩下的石子异或结果为 $0$(记为状态4)，可以发现状态4和状态1是一样的。所以后手必败，则先手必胜。

#include <cstdio>
using namespace std;

int main()
{
    int n,x,ans = 0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%d", &x);
        ans ^= x;
    }
    if(ans)
    {
        printf("A\n");
    }
    else
    {
        printf("B\n");
    }
    return 0;
}

F.合法整数集

题解：经过分析可以发现x的第i为如果是 $0$，y_i 的第i位为 $1$，那么y_i 一定是不用删除的数，把这类数去除。剩下的数按二进制位分解计数，答案就是x的二进制位为1的最小值。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int main()
{
    int n, x,y;
    int used[40];
    for(int i = 0; i <= 35; i++)used[i] = 0;
    scanf("%d%d", &n, &x);
    for(int i = 0; i < n ; i++)
    {
        scanf("%d", &y);
        bool flag = true;
        for(int i = 1; i <= 31; i++)
        {
            if((!((x>>(i-1))&1))&&((y>>(i-1))&1)) //x的第i位是0，yi的第i位是1
            {
                flag = false;
                break;
            }
        }
        if(flag)
            for(int i = 1; i <=31; i++)
            {
                if((y>>(i-1))&1)//按二进制位分解计数
                    used[i]++;
            }
    }
    int ma = 100;//n最大为50
    for(int i = 1; i <= 31; i++)
    {
        if((x>>(i-1))&1)//判断x第i位为1
        {
            ma = min(ma, used[i]);//找出最小值，既是要删除的最少个数。
        }
    }
    printf("%d\n", ma);
    return 0;
}

G.Magic Grid

题解：这题是个特判，答案不唯一。所以自己设计一个符合题意得答案即可。当n=4，答案可以是 $\begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 10 & 11\\ 12 & 13 & 14 & 15 \end{matrix}$每行每列的异或和都为 $0$。
当n=8，答案可以是 $\begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 3 &16 & 17 & 18 & 19 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & 20 & 21 & 22 & 23\\ 8 & 9 & 10 & 11 & 24 & 25 & 26 & 27\\ 12 & 13 & 14 & 15 &28 & 29 &30&31\\ 32&33&34&35&48&49&50&51 \\ 36&37&38&39&52&53&54&55\\ 40&41&42&43&56&57&58&59\\ 44&45&46&47&60&61&62&63 \end{matrix}$每行每列的异或和都为 $0$。
可以看出以4*4的方格为一个单位进行填充。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int ans[1010][1010];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int num = 0;
    for(int i = 0; i<n;i+=4)
    {
        for(int j = 0; j < n; j+=4)
        {
            for(int x = 0; x < 4; x++)
            {
                for(int y = 0; y < 4;y++)
                {
                    ans[i+x][j+y] = num++;
                }

            }
        }
    }
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        for(int j = 0; j < n; j++)
        {
            printf("%d ", ans[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}