题目链接：https://codeforces.com/contest/1312
D
可以初步观察出一些事实：
1、最大的数是只有一个的，否则不会满足左右都是严格升降序。
2、最大的数的取值范围为 \([n-1,m]\) 。
3、最大的数不能放在两端。
4、相等的数分布在最大的数两侧。
算法1，给位置选数
先枚举最大的数的位置，设其前面有 \(x\) 个位置，后面有 \(y\) 个位置，则 \(x\ge 0,y \ge 0,x+y=n-1\) 。
再枚举最大的数的取值，观察可以发现最大的数的取值是不受位置影响的，设取值为 \(p \in [n-1,m]\) 。
再从 \([1,p-1]\) 中选 \(x\) 个数给前面 \(x\) 个位置，选法为 \(C_{p-1}^{x}\) 。
再从前面 \(x\) 个数中选 \(1\) 个数作为相等的数字放在后面的某个位置， 选法为 \(C_{x}^{1}\) 。
再从 \([1,p-1]\) 个数中选 \(y-1\) 个数给后面剩下的 \(y-1\) 个位置，且这些数不能与前面 \(x\) 个数相等，选法为 \(C_{p-1-x}^{y-1}\) 。
这里会发现复杂度爆炸，但是这个形式看起来有规律。
\[ \begin{align} &C_{p-1}^{x}*C_{x}^{1}*C_{p-1-x}^{y-1} \nonumber \\ &=\frac{(p-1)!}{(p-1-x)!x!}*x*\frac{(p-1-x)!}{(p-1-x-(y-1))!(y-1)!} \nonumber \\ &=\frac{(p-1)!}{(p-n+1)!(x-1)!(y-1)!} \nonumber \\ &=\frac{1}{(x-1)!(y-1)!}*\frac{(p-1)!}{(p-n+1)!} \nonumber \\ \end{align} \]
后面的部分与 \(x,y\) 无关，前面的部分与 \(p\) 无关，两部分可以分开统计了。
算法2，给数选位置
先从 \([1,m]\) 中选出 \(n-1\) 个数，然后可以把他们离散化到 \([1,n-1]\) 。
然后从 \([1,n-2]\) 中选出那个相等的数（因为 \(n-1\) 是最大的数，不能相等），放在最大的数两边。
剩下的数既可以放在左边，也可以放在右边，有 \(2^{n-3}\) 种选法。
反思：怪不得这道题这么多人过，算法2是真的简单，所以以后组合数学可以从“给位置选数”以及“给数选位置”两种角度考虑。
关键是得知了： \(C_{n}^{x}*C_{n-x}^{y}\ne C_{n}^{x+y}\) 而是 \(C_{n}^{x}*C_{n-x}^{y}\ne C_{n}^{x+y}*C_{x+y}^{x}\) ，也就是说，等式左侧的规定了哪些数是去 \(x\) 中的，所以在等式右侧也要规定。