一、概率论的基本概念

1、德摩根律： $A\bigcup B$ 的非 = A非 $\bigcap$ B非； $A\bigcap B$ 的非 = A非 $\bigcup$ B非。

2、古典概型：试验的样本空间只包含有限个元素。试验中每个基本事件发生的可能性相同。

3、条件概率：

(一）条件概率

设A、B是两个事件，且P(A)>0，则 P(B|A) = P(AB) / P(A)。

P(B1 U B2 | A) = P(B1|A)+P(B2|A)-P(B1B2|A)

(二)乘法定理

设P(A)>0,则 P(AB) = P(B|A)P(A)，称为乘法公式。

推广到多个事件：设P(AB)>0,则有，P(ABC) = P(C|AB)P(B|A)P(A)

(三)全概率公式

设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，B3......Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0(i = 1,2......n)，则

P(A) = P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+......+P(A|Bn)P(Bn)

(四)贝叶斯公式

在全概率公式中，比较常用的就是n=2时的形式，由此演化成

全概率公式：P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B非)P(B非)

贝叶斯公式:：P(B|A) = P(AB) / P(A)

(五)独立性

设A、B为两个事件，若P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A、B相互独立。

4.互不相容和独立的关系

不可能同时发生的两个事件，叫做互斥（互不相容）事件。

如果发生第1种情况，对第2种情况没影响，那么这两种情况就相互独立。

如果A和B互不相容 P（A U B）= P（A）+P（B）
如果A和B相互独立 P（AB） = P（A）P（B）

（1）若A,B 相互独立，则一定不互斥
（2）若A,B互斥，则一定不相互独立
（3）若A,B不相互独立，则可能互斥也可能不互斥
（4）若A,B不互斥，则可能独立也可能不独立

二、随机变量及其分布

1、随机变量：设随机试验的样本空间为S = {e}是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X=X（e）为随机变量。

2、离散型随机变量及其分布律

(一)（0-1）分布

设随机变量X只可能取0和1两个值，他的分布律是P{X = k}= $p^{k}(1-p)^{1-k},k=0,1 (0<p<1).$ 则称X服从以P为参数的（0-1）分布或两点分布。

(二)伯努利试验、二项分布

设试验E只有两个可能结果：A及A非，则称E为伯努利试验，

设P(A) = p (0<p<1),，此时P(A非)=1-p，将E独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。

(三)泊松分布

设随机变量X所有可能取的值为0,1,2.....而取各个值的概率为P{X=k}= $\lambda ^{k}e^{-\lambda } / k!$ ，k=0,1,2......，其中 $\lambda$ >0是常数，则称X服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记X~π( $\lambda$ ).

3、随机变量的分布函数：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P{X<=x}，负无穷<x<正无穷，称为X的分布函数。

分布函数F(x)的性质：

1.F(x)是一个不减函数

2.0<=F(x)<=1,且 $F(-\propto )=\lim_{x->-\propto }F(x)=0,F(\propto )=\lim_{x->\propto }F(x)=1$ ，

3.F(x+0)=F(x),及F(x)是右连续的。

4.连续型随机变量及其概率密度

（一）概念

如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数f(x)，使对于任意实数x有： $F(x)=\int_{-\bowtie }^{x}f(t)dt$ ，则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。

（二）概率密度f(x)的性质

1.f(x)>=0

2. $\int_{-\bowtie }^{+\bowtie }f(x)dx=1$

3.对于任意实数x1,x2（x1<=x2）,P{x1<X<=X2} = F(x2)-F(x1) = $\int_{x1 }^{x2}f(x)dx$

4.若f(x)在点x处连续，则有F'(x) = f(x).

(三)均匀分布

若连续型随机变量X具有概率密度 $f(x) = \left\{\begin{matrix}\frac{1}{b-a},a<x<b & \\ 0,other & \end{matrix}\right.$ ，则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为X~U（a,b）

(四)指数分布

若连续型随机变量X的概率密度为 $f(x)={\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\Theta }e^{-\frac{x}{\Theta }},x>0 & \\ 0,x<=0 & \end{matrix}\right.}$ ，其中 $\Theta$ >0为常数，则称X服从参数为 $\Theta$ 的指数分布。

(五)正态分布

若连续型随机变量X的概率密度为 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}},-\bowtie <x<\bowtie$ ，其中 $\mu, \sigma (\sigma >0)$ 为常数，则称X服从参数为 $\mu, \sigma$ 的正态分布或高斯分布，记为 $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$

性质：

1.曲线关于 $x=\mu$ 对称，这表明对于任意h>0有 $P\left \{ \mu -h<X<=\mu \right \}=P\left \{ \mu <X<=\mu +h \right \}$

2.当 $x=\mu$ 时取到最大值 $f(\mu )\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$

x离 $\mu$ 越远，f(x)的值越小，如果固定 $\mu$ ，改变 $\sigma$ ，则当 $\sigma$ 越小时，图形变得越尖，因而X落在 $\mu$ 附近的概率越大。特别，当 $\mu =0,\sigma =1$ 时，称随机变量X服从标准正态分布。其概率密度和分布函数分别用 $\varphi (x),\Phi (x)$ 。

三、多维随机变量及其分布

1、定义

（一）二维随机变量：设随机试验E的样本空间为S，如果对于每个 $e\in S$ ,X=X(e),Y=Y(e)为S上的随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y），叫做二维随机变量。

（二）二维随机变量（X,Y）的分布函数（随机变量X和Y的联合分布函数）：设（X,Y）是二维随机变量，任意 $(X,Y)\in (-\Join ,+\Join )$ ，函数F(x，y)=P(X<=x,Y<=y)称为二维随机变量（X,Y）的分布函数。

（三）二维离散型随机变量：如果二维随机变量（X,Y）的全部可能取到的值是有限对或可列无限对，则（X,Y）叫做二维离散型随机变量。

（四）二维离散型随机变量的分布律：如果二维离散型随机变量（X,Y）的全部可能取到的值为（xi,yj）（i,j=1,2,3.....），称P(X=xi,Y=yj)=pij(i,j=1,2......)为二维离散型随机变量（X,Y）的分布律。

（五）连续型的二维随机变量：对于二维随机变量（X,Y）的分布函数F(x,y)，如果存在非负可积函数f(x,y)使对于任意x,y有 $F(x,y)=\int_{-\Join }^{y}\int_{-\Join }^{x}f(\mu ,\nu )d\mu d\nu$ ,则称（X,Y）是连续型的二维随机变量。函数f(x,y)称为二维随机变量（X,Y）的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度。

（六）边缘分布函数：二维随机变量（X,Y）作为一个整体，具有分布函数F(x,y)，而X和Y都是随机变量，各自也有分布函数，将他们分别记为Fx(x),Fy(y),依次称为二维随机变量（X,Y）关于X和关于Y的边缘分布函数。

Fx(x)=F(x,∞)，就是说，只要在函数F(x,y)中令 y -> ∞ 就能得到Fx(x)。

（七）边缘分布律： $p_{i\cdot }^{ }=\sum_{j=1}^{\Join }p_{ij}^{ }=P\left \{ X=x_{i}^{ } \right \},i=1,2...$

$p_{\cdot j}^{ }=\sum_{i=1}^{\Join }p_{ij}^{ }=P\left \{ Y=y_{j}^{ } \right \},j=1,2...$ 分别称 $p_{i\cdot }^{ }$ 和 $p_{\cdot j}^{ }$ 为（X,Y）关于X和关于Y的边缘分布律。

（八）边缘概率密度：对于连续型随机变量（X,Y），设它的概率密度为f(x,y)，由 $F_{x}^{ }(x)=F(x,\Join )=\int_{-\Join }^{x}\left [ \int_{-\Join }^{+\Join } \right f(x,y)dy]dx$ 得 $f_{x}^{ }(x)=\int_{-\Join }^{+\Join }f(x,y)dy$ ，同理得 $f_{y}^{ }(y)=\int_{-\Join }^{+\Join }f(x,y)dx$ ，分别称 $f_{X}^{ }(x)$ ， $f_{Y}^{ }(y)$ 为（X,Y）关于X和关于Y的边缘概率密度。

（九）相互独立的随机变量：设F(x,y)及 $f_{X}^{ }(x)$ ， $f_{Y}^{ }(y)$ 分别是二维随机变量（X,Y）的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y，有P{X<=x,Y<=y}=P{X<=x}P{Y<=y}，即F(x,y)= $F_{X}^{ }(x)$ $F_{Y}^{ }(y)$ ，则称随机变量X和Y是相互独立的。

（十）卷积公式：设（X,Y）是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y)，则 Z=X+Y 仍为连续型随机变量，其概率密度为:

$f_{X+Y}^{ }(z)=\int_{-\Join }^{+\Join }f(z-y,y)dy$

或 $f_{X+Y}^{ }(z)=\int_{-\Join }^{+\Join }f(x,z-x)dx$

又若X和Y相互独立，设（X,Y）关于X,Y的边缘密度为 $f_{X}^{ }(x)$ ， $f_{Y}^{ }(y)$ ，则上述公式化简为：

$f_{X+Y}^{ }(z)=\int_{-\Join }^{+\Join }f_{X}^{ }(z-y)f_{Y}^{ }(y)dy$

和 $f_{X+Y}^{ }(z)=\int_{-\Join }^{+\Join }f_{X}^{ }(x)f_{Y}^{ }(z-x)dx$

这两个公式称为 $f_{x}^{}$ 和 $f_{y}^{}$ 的卷积公式，记为 $f_{x}^{ }*f_{y}^{ }$ 。

（十一） $Z=\frac{Y}{X}$ 的分布， $Z=XY$ 的分布：设（X,Y）是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y)，则 $Z=\frac{Y}{X}$ ， $Z=XY$ 仍为连续型随机变量，其概率密度为:

$f_{Y/X}^{ }(z)=\int_{-\Join }^{+\Join }\left | x \right |f(x,xz)dx$

$f_{XY}^{ }(z)=\int_{-\Join }^{+\Join }\frac{1}{\left |x \right |}f(x,\frac{z}{x})dx$

若X和Y相互独立，设（X,Y）关于X,Y的边缘密度为 $f_{X}^{ }(x)$ ， $f_{Y}^{ }(y)$ ，则上述公式化简为：

$f_{Y/X}^{ }(z)=\int_{-\Join }^{+\Join }\left | x \right |f_{X}^{ }(x)f_{Y}^{ }(xz)dx$

$f_{XY}^{ }(z)=\int_{-\Join }^{+\Join }\frac{1}{\left | x \right |}f_{X}^{ }(x)f_{Y}^{ }(\frac{z}{x})dx$

（十二）M=max{X,Y}及N=min{X,Y}的分布：

设X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 $F_{X}^{ }(x)$ ， $F_{Y}^{ }(y)$ ，

$F_{max}^{ }(z)=F_{X}^{ }(z)F_{Y}^{ }(z)$

$F_{min}^{ }(z)=1-\left [ 1-F_{X}^{ }(z) \right ]\left [ 1-F_{Y}^{ }(z) \right ]$

2、分布函数F(x,y)的基本性质

1.F(x,y)是变量x和y的不减函数。

2.0<=F(x,y)<=1，

且①对于任意固定的y，F(-无穷，y)=0，②对于任意固定的x，F(x,-无穷)=0，③F（- 无穷，+无穷）= 0，F(无穷，无穷)=1。

3.F(x,y)关于x右连续,关于y也右连续。

4.对于任意（x1,y1）,(x2,y2),x1<x2,y1<y2,下述不等式成立

F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)>=0

3.概率密度f(x,y)的性质

1.f(x,y)>=0

2. $\int_{-\Join }^{+\Join }\int_{-\Join }^{+\Join }f(x,y)dxdy=F(\Join ,\Join )=1$

3.设G是xOy平面上的区域，点（X,Y）落在G内的概率为 $P\left \{ (X,Y)\in G) \right \}=\iint_{G}^{ }f(x,y)dxdy$

4.若在f(x,y)在点（x,y），连续，则有（∂的平方*F(x,y)）/ ∂x∂y = f(x,y)

四、随机变量的数字特征

1、数学期望

设离散型随机变量X的分布律为 $P\begin{Bmatrix} X=x_{k} \end{Bmatrix}=p_{k},k=1,2,...$ ，若级数 $\sum_{k=1}^{\Join }x_{k}p_{k}$ 绝对收敛，则称级数 $\sum_{k=1}^{\Join }x_{k}p_{k}$ 的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即 $E(X)=\sum_{k=1}^{\Join }x_{k}p_{k}$ 。

设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分 $\int_{-\Join }^{+\Join }xf(x)dx$ 绝对收敛，则称积分 $\int_{-\Join }^{+\Join }xf(x)dx$ 的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即 $E(x)=\int_{-\Join }^{+\Join }xf(x)dx$ 。数学期望简称期望，又称为均值。

2.数学期望的重要性质

（1）设C是常数，则有E(C)=C。

（2）设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)。

（3）设X，Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)，这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况。

（4）设X，Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)，这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况。

3、方差

设X是一个随机变量，若E{ [ X-E(X) ] ² }存在，则称E{ [ X-E(X) ] ² }为X的方差，记为D(X)或Var(X)，即D(X)=Var(X)=E{ [ X-E(X) ] ² }，在应用上还引用量 $\sqrt{D(X)}$ ，记为 $\sigma (X)$ ，称为标准差或均方差。

随机变量X的方差表达了X的取值与其数学期望的偏离程度，若D(X)较小意味着X的取值比较集中在E(X)的附近，反之，若D(X)较大则表示X的取值较分散。

4、方差的重要性质

（1）设C是常数，则D(C)=0。

（2）设X是随机变量，C是常数，则有D(CX)=C²D(X)，D(X+C)=D(X)。

（3）设X，Y是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{ (X-E(X))(Y-E(Y)) }。

当X,Y相互独立时，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)，这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。

（4）D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数E(X)，即P{X=E(X)}=1。

5、协方差及相关系数

量E{ (X-E(X))(Y-E(Y)) }称为随机变量X与Y的协方差，记为Cov（X，Y），即Cov(X,Y)=E{ (X-E(X))(Y-E(Y)) }，而 $\rho _{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$ 称为随机变量X与Y的相关系数。由定义即知Cov(X,Y)=Cov(Y,X)，Cov(X,X)=D(X)，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)。

6、协方差的重要性质

（1）Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)，a,b是常数。

（2）Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)

她的坏机器人

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概率论与数理统计，基础知识、公式、定理、概念（一）

一、概率论的基本概念

二、随机变量及其分布

三、多维随机变量及其分布

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