概率论与数理统计常用公式大全

事件的关系与运算

$$\begin{array}{rl}& A-B=A-AB=A\overline{B}\\ & B=\overline{A}⟺AB=\varnothing 且A\cup B=\Omega \\ (1)吸收律& 若A\subset B,则A\cup B=B,AB=A\\ (2)交换律& A\cup B=B\cup A,AB=BA\\ (3)结合律& (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C),(AB)C=A(BC)\\ (4)分配律& A(B\cup C)=AB\cup AC,A\cup BC=(A\cup B)(A\cup C),A(B-C)=AB-AC\\ (5)对偶律& \overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B},\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}\end{array}$$

概率的基本性质

$$\begin{array}{rl}& P\left(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n\right)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+\cdots +P\left(A_n\right)（A_1,A_2,\cdots ,A_n两两互不相容）\\ & \\ & P(B-A)=P(B)-P(A)(A\subset B)\\ & \\ & P(\overline{A})=1-P(A)\\ & \\ & P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\\ & \\ & P\left(A_1\cup A_2\cup A_3\right)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+P\left(A_3\right)-P\left(A_1{A}_2\right)-P\left(A_1{A}_3\right)-P\left(A_2{A}_3\right)+P\left(A_1{A}_2{A}_3\right)\\ & \\ & P\left(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n\right)=\sum _{i=1}^{n}P\left(A_i\right)-\sum _{1⩽i<j⩽n}P\left(A,A_j\right)+\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{1⩽i<j<k}{n}}P\left(A_i{A}_j{A}_k\right)-\cdots +(-1{)}^{n-1}P\left(A_1{A}_2\cdots A_n\right)\\ & \\ & P(A-B)=P(A)-P(AB)\end{array}$$

条件概率相关公式

$$\begin{array}{rl}& P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}（条件概率）\\ & \\ & P(AB)=P(A)P(B\mid A)（乘法公式）\\ & \\ & P\left(A_1{A}_2\cdots A_n\right)=P\left(A_1\right)P\left(A_2\mid A_1\right)P\left(A_3\mid A_1{A}_2\right)\cdots P\left(A_n\mid A_1\cdots A_{n-1}\right)\end{array}$$

全概率公式：

如果 ${\bigcup }_{i=1}^n{A}_i=\Omega ,A_i{A}_j=\varnothing (i\ne j),P\left(A_i\right)>0$, 则对任一事件 $B$, 有
$$\begin{array}{c}B=\bigcup _{i=1}^n{A}_{i}B\\ P(B)=\sum _{i=1}^{n}P\left(A_i\right)P\left(B\mid A_i\right)\end{array}$$

贝叶斯公式（逆概公式）：

如果 ${\bigcup }_{i=1}^n{A}_i=\Omega ,A_i{A}_j=\varnothing (i\ne j),P\left(A_i\right)>0$, 则对任一事件 $B$, 只要 $P(B)>0$, 就有
$$P\left(A_j\mid B\right)=\frac{P\left(A_j\right)P\left(B\mid A_j\right)}{{\sum }_{i=1}^{n}P\left(A_i\right)P\left(B\mid A_i\right)}(j=1,2,\cdots ,n)$$

常用分布

离散型分布

0-1分布 $B(1,p)$

• 符号表示：$X\sim B(1,p)$
• 概率分布：$X\sim \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ p& 1-p\end{array}\right)$
• 分布解释：结果只要 $0,1$ 两种，为 $1$ 的概率为 $p$，为 $0$ 的概率为 $1-p$
• 参数解释：$1$ 为固定常量，即一次伯努利试验；$p$ 为伯努利试验结果为 $1$ 的概率
• 期望：$p$
• 方差：$p(1-p)$

二项分布 $B(n,p)$

• 符号表示：$X\sim B(n,p)$
• 概率分布： p k = P { X = k } = C n k p k ( 1 − p ) n − k    ,      k = 0 , 1 , ⋯   , n , 0 < p < 1 p_{k}=P\{X=k\}=\mathrm{C}_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k}~~,~~~~ k=0,1, \cdots, n, 0<p<1 pk​=P{ X=k}=Cnk​pk(1−p)n−k  ,    k=0,1,⋯,n,0<p<1
• 分布解释：$X$是$n$重伯努利试验中事件$A$发生的次数。
• 参数解释：$n$ 为进行 $n$ 次伯努利试验；$p$ 为一次伯努利试验结果为 $1$ 的概率
• 期望：$np$
• 方差：$np(1-p)$

泊松分布 $P(\lambda )$

• 符号表示：$X\sim P(\lambda )$
• 概率分布： p k = P { X = k } = λ k k ! e − λ      ( k = 0 , 1 , ⋯   ; λ > 0 ) p_{k}=P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k}}{k !} \mathrm{e}^{-\lambda}~~~~(k=0,1, \cdots ; \lambda>0) pk​=P{ X=k}=k!λk​e−λ    (k=0,1,⋯;λ>0)
• 分布解释：在某个时间段内，某事件发生 $k$ 次的概率。例如：在某个时间段内，卖出 $k$ 个包子的概率；知乎大佬形象解释
• 参数解释：$\lambda$ 为均值（也叫强度），即在某时间段内，某时间发生的平均次数
• 期望：$\lambda$
• 方差：$\lambda$
• 函数图像：https://www.geogebra.org/m/s3xuVuZN
  

几何分布 $G(p)$

• 符号表示：$X\sim G(p)$ 或 $X\sim \text{Ge}(p)$
• 概率分布： p k = P { X = k } = q k − 1 p = ( 1 − p ) k − 1 ⋅ p         ( k = 1 , 2 , ⋯   ; 0 < p < 1 , q = 1 − p ) p_{k}=P\{X=k\}=q^{k-1} p = (1-p)^{k-1}\cdot p~~~~~~~ (k=1,2, \cdots ; 0<p<1, q=1-p) pk​=P{ X=k}=qk−1p=(1−p)k−1⋅p       (k=1,2,⋯;0<p<1,q=1−p)
• 分布解释：第 $k$ 次做某事才成功的概率。如第5次抛硬币，才抛出正面的概率，即前4次都是反面，第5次是正面
• 参数解释：$p$ 表示成功的概率
• 期望：$$\frac{1}{p}$$
• 方差：$$\frac{1-p}{p^2}$$

超几何分布 $H(N,M,n)$

• 符号表示：$X\sim H(N,M,n)$
• 概率分布： p k = P { X = k } = C M k C N − M n − k C N n          ( k = 0 , 1 , ⋯   , min ⁡ { M , n } , M , N , n  为正整数  ) p_{k}=P\{X=k\}=\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{M}}^{k} \mathrm{C}_{\mathrm{N}-\mathrm{M}}^{n-k}}{\mathrm{C}_{\mathrm{N}}^{n}}~~~~~~~~(k=0,1, \cdots, \min \{M, n\}, M, N, n \text { 为正整数 }) pk​=P{ X=k}=CNn​CMk​CN−Mn−k​​        (k=0,1,⋯,min{ M,n},M,N,n 为正整数 )
• 分布解释：从有限$N$个物件（其中包含$M$个指定种类的物件）中抽出$n$个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。例如：在产品中随机抽$n$件做检查，发现$k$件不合格品的概率
• 参数解释：$N$ 为样本总数，$M$为指定样本总数，$n$ 为抽样的个数
• 期望：$$n\frac{M}{N}$$
• 方差：$$\frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$$

连续型分布

均匀分布 $U(a,b)$

• 符号表示：$X\sim U(a,b)$
• 概率密度：$$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{b-a},& a<x<b\\ 0,& \text{ 其他 }\end{array}$$
• 分布函数：$$F(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<a\\ \frac{x-a}{b-a},& a⩽x<b\\ 1,& b⩽x\end{array}$$
• 分布解释：样本在 $(a,b)$ 这个区间上是均匀分布的
• 参数解释：$a$ 为左边界，$b$ 为右边界
• 期望：$$\frac{a+b}{2}$$
• 方差：$$\frac{(b-a{)}^2}{12}$$

指数分布 $E(\lambda )$

• 符号表示：$X\sim E(\lambda )$
• 概率密度：$$f(x)=\{\begin{array}{cc}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x⩽0\end{array}$$
• 分布函数：$$F(x)=\{\begin{array}{cc}1-{\mathrm{e}}^{-\lambda x},& x⩾0,\\ 0,& x<0\end{array}(\lambda >0)$$
• 分布解释：描述事件与事件之间的间隔时间的概率分布。如：1分钟内没有顾客通过收银台的概率为： P { t > 1 } = ∫ 1 + ∞ f ( t ) d t P\{t>1\} =\int_1^{+\infty }f(t) dt P{ t>1}=∫1+∞​f(t)dt
• 参数解释：单位时间内的平均值。如：平均每分钟有两名顾客通过收银台，则 $\lambda =2$
• 期望：$$\frac{1}{\lambda }$$
• 方差：$$\frac{1}{{\lambda }^2}$$
• 函数图像：https://www.geogebra.org/m/XEzN7emD
  

正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$

• 符号表示：$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$
• 概率密度：$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-u}{\sigma }\right)}^2}(-\infty <x<\infty )$$
• 分布函数：$$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^x{\mathrm{e}}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx,-\infty <x<+\infty$$
• 分布解释：
• 参数解释：$\mu$ 为样本均值，${\sigma }^2$ 为样本方差
• 期望：$\mu$
• 方差：${\sigma }^2$

正态分布性质：

• $f(x)$ 的图像关于直线 $x=\mu$ 对称，即 $f(\mu -x)=f(\mu +x)$
• $f(x)$ 在 $x=\mu$ 处有唯一最大值： $$f(\mu )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$$
• $\mu =0,{\sigma }^2=1$ 时的正态分布 $N(0,1)$ 为标准正态分布，概率密度为： $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{x}^2}$$
• 标准正态分布的分布函数：$$\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$$
• $\Phi (x)$ 的性质：$\Phi (0)=0.5$ ， $\Phi (+\infty )=1$ ，$\Phi (-x)=1-\Phi (x)$
• 在 $x=\mu \pm \sigma$ 处有拐点
• 固定 $\sigma$ ，改变 $\mu$ ，则图像沿 $x$ 轴平移而不改变其形状
• 固定 $\mu$ ，改变 $\sigma$ ，则当 $\sigma$ 很小时，曲线的形状与尖塔类似；当 $\sigma$ 值增大时，曲线将趋于平坦

函数图像：https://www.geogebra.org/m/sPBsZYET

• 概率密度函数图像：
• 分布函数图像如下：

一维随机变量函数的分布

• 离散型：$$若X\sim \left(\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& \cdots \\ p_1& p_2& \cdots \end{array}\right),Y=g(X),则Y\sim \left(\begin{array}{ccc}g\left(x_1\right)& g\left(x_2\right)& \cdots \\ p_1& p_2& \cdots \end{array}\right)$$

• 连续型： F Y ( y ) = P { Y ⩽ y } = P { g ( X ) ⩽ y } = ∫ g ( x ) ⩽ y f ( x ) d x F_{Y}(y)=P\{Y \leqslant y\}=P\{g(X) \leqslant y\}=\int_{g(x) \leqslant y} f(x) \mathrm{d} x FY​(y)=P{ Y⩽y}=P{ g(X)⩽y}=∫g(x)⩽y​f(x)dx

多为随机变量及其分布

F ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = P { X 1 ⩽ x 1 , X 2 ⩽ x 2 , ⋯   , X n ⩽ x n }       ( x 1 , x 2 , ⋯ x n ) ∈ R n 当 x 1 < x 2 ,     F ( x 1 , y ) ⩽ F ( x 2 , y ) 当 y 1 < y 2 ,     F ( x , y 1 ) ⩽ F ( x , y 2 ) F ( x , y ) = P { X ⩽ x , Y ⩽ y } ( x , y ) ∈ R 2 F ( − ∞ , y ) = F ( x , − ∞ ) = F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 P { x 1 < x ⩽ x 2 , y 1 < y ⩽ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) ⩾ 0 F X ( x ) = P { X ⩽ x } = P { X ⩽ x , Y ⩽ + ∞ } = lim ⁡ y → + ∞ P { X ⩽ x , Y ⩽ y } = lim ⁡ y → + ∞ F ( x , y ) = F ( x , + ∞ ) \begin{aligned} & F\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=P\left\{X_{1} \leqslant x_{1}, X_{2} \leqslant x_{2}, \cdots, X_{n} \leqslant x_{n}\right\} ~~~~~ \left(x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n}\right) \in R^{n} \\\\ & 当 x_{1}<x_{2},~~~F\left(x_{1}, y\right) \leqslant F\left(x_{2}, y\right)\\\\ & 当 y_{1}<y_{2},~~~F\left(x, y_{1}\right) \leqslant F\left(x, y_{2}\right) & F(x, y)=P\{X \leqslant x, Y \leqslant y\} \quad(x, y) \in \mathbf{R}^{2}\\\\ & F(-\infty, y)=F(x,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0 \\\\ & F(+\infty,+\infty)=1\\\\ & P\left\{x_{1}<x \leqslant x_{2}, y_{1}<y \leqslant y_{2}\right\}=F\left(x_{2}, y_{2}\right)-F\left(x_{2}, y_{1}\right)-F\left(x_{1}, y_{2}\right)+F\left(x_{1}, y_{1}\right) \geqslant 0 \\\\ &\begin{aligned} F_{X}(x) &=P\{X \leqslant x\}=P\{X \leqslant x, Y \leqslant+\infty\} \\ &=\lim _{y \rightarrow+\infty} P\{X \leqslant x, Y \leqslant y\} \\ &=\lim _{y \rightarrow+\infty} F(x, y)=F(x,+\infty) \end{aligned} \\\\ \end{aligned} ​F(x1​,x2​,⋯,xn​)=P{ X1​⩽x1​,X2​⩽x2​,⋯,Xn​⩽xn​}     (x1​,x2​,⋯xn​)∈Rn当x1​<x2​,   F(x1​,y)⩽F(x2​,y)当y1​<y2​,   F(x,y1​)⩽F(x,y2​)F(−∞,y)=F(x,−∞)=F(−∞,−∞)=0F(+∞,+∞)=1P{ x1​<x⩽x2​,y1​<y⩽y2​}=F(x2​,y2​)−F(x2​,y1​)−F(x1​,y2​)+F(x1​,y1​)⩾0FX​(x)​=P{ X⩽x}=P{ X⩽x,Y⩽+∞}=y→+∞lim​P{ X⩽x,Y⩽y}=y→+∞lim​F(x,y)=F(x,+∞)​​F(x,y)=P{ X⩽x,Y⩽y}(x,y)∈R2

离散型：

F ( x , y ) = P { X ⩽ x , Y ⩽ y } = ∑ x i ⩽ x , y j ⩽ y p i j P { ( X , Y ) ∈ G } = ∑ ( x i , y j ) ∈ G p i j p i ⋅ = P { X = x i } = ∑ j P { X = x i , Y = y j } = ∑ j p i j      ( i = 1 , 2 , ⋯   ) p ⋅ j = P { Y = y j } = ∑ i P { X = x i , Y = y j } = ∑ i p i j      ( j = 1 , 2 , ⋯   ) p X ∣ Y ( x i ∣ y j ) = P { X = x i ∣ Y = y j } = P { X = x i , Y = y j } P { Y = y j } = p i j p ⋅ j      ( i = 1 , 2 , ⋯   ) \begin{aligned} & F(x, y)=P\{X \leqslant x, Y \leqslant y\}=\sum_{x_{i} \leqslant x, y_{j} \leqslant y} p_{i j} \\\\ & P\{(X, Y) \in G\}=\sum_{\left(x_{i}, y_{j}\right) \in G} p_{i j} \\\\ &p_{i \cdot}=P\left\{X=x_{i}\right\}=\sum_{j} P\left\{X=x_{i}, Y=y_{j}\right\}=\sum_{j} p_{i j}~~~~(i=1,2, \cdots) \\\\ &p_{\cdot j}=P\left\{Y=y_{j}\right\}=\sum_{i} P\left\{X=x_{i}, Y=y_{j}\right\}=\sum_i p_{i j}~~~~(j=1,2, \cdots) \\\\ & \begin{aligned} p_{X \mid Y}\left(x_{i} \mid y_{j}\right) &=P\left\{X=x_{i} \mid Y=y_{j}\right\}=\frac{P\left\{X=x_{i}, Y=y_{j}\right\}}{P\left\{Y=y_{j}\right\}} \\ &=\frac{p_{i j}}{p \cdot j}~~~~(i=1,2, \cdots) \end{aligned} \end{aligned} ​F(x,y)=P{ X⩽x,Y⩽y}=xi​⩽x,yj​⩽y∑​pij​P{ (X,Y)∈G}=(xi​,yj​)∈G∑​pij​pi⋅​=P{ X=xi​}=j∑​P{ X=xi​,Y=yj​}=j∑​pij​    (i=1,2,⋯)p⋅j​=P{ Y=yj​}=i∑​P{ X=xi​,Y=yj​}=i∑​pij​    (j=1,2,⋯)pX∣Y​(xi​∣yj​)​=P{ X=xi​∣Y=yj​}=P{ Y=yj​}P{ X=xi​,Y=yj​}​=p⋅jpij​​    (i=1,2,⋯)​​

连续型：

F ( x , y ) = P { X ⩽ x , Y ⩽ y } = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u , v ) d u   d v         ( x , y ) ∈ R 2 P { ( X , Y ) ∈ G } = ∬ G f ( x , y ) d x   d y ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x   d y = 1 ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y = f ( x , y ) F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) = ∫ − ∞ x [ ∫ − ∞ + ∞ f ( u , v ) d v ] d u f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f Y ∣ X ( y ∣ x ) = f ( x , y ) f X ( x ) f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) f ( x , y ) = f X ( x ) f Y ∣ X ( y ∣ x ) = f Y ( y ) f X ∣ Y ( x ∣ y ) F Y ∣ X ( y ∣ x ) = ∫ − ∞ y f Y ∣ X ( v ∣ x ) d v = ∫ − ∞ y f ( x , v ) f X ( x ) d v F X ∣ Y ( x ∣ y ) = ∫ − ∞ x f X ∣ Y ( u ∣ y ) d u = ∫ − ∞ x f ( u , y ) f Y ( y ) d u \begin{aligned} & F(x, y)=P\{X \leqslant x, Y\leqslant y \}=\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v ~~~~~~~\quad(x, y) \in \mathbf{R}^{2} \\\\ & P\{(X, Y) \in G\}=\iint_{G} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\\\ & \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1 \\\\ & \frac{\partial^{2} F(x, y)}{\partial x \partial y}=f(x, y) \\\\ & F_{X}(x)=F(x,+\infty)=\int_{-\infty}^{x}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f(u, v) \mathrm{d} v\right] \mathrm{d} u \\\\ & f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y \\\\ & f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x \\\\ & f_{Y \mid X}(y \mid x)=\frac{f(x, y)}{f_{X}(x)} \\\\ & f_{X \mid Y}(x \mid y)=\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)} \\\\ & f(x, y)=f_{X}(x) f_{Y \mid X}(y \mid x)=f_{Y}(y) f_{X \mid Y}(x \mid y) \\\\ & F_{Y \mid X}(y \mid x)=\int_{-\infty}^{y} f_{Y \mid X}(v \mid x) \mathrm{d} v=\int_{-\infty}^{y} \frac{f(x, v)}{f_{X}(x)} \mathrm{d} v \\\\ & F_{X \mid Y}(x \mid y)=\int_{-\infty}^{x} f_{X \mid Y}(u \mid y) \mathrm{d} u=\int_{-\infty}^{x} \frac{f(u, y)}{f_{Y}(y)} \mathrm{d} u \end{aligned} ​F(x,y)=P{ X⩽x,Y⩽y}=∫−∞x​∫−∞y​f(u,v)du dv       (x,y)∈R2P{ (X,Y)∈G}=∬G​f(x,y)dx dy∫−∞+∞​∫−∞+∞​f(x,y)dx dy=1∂x∂y∂2F(x,y)​=f(x,y)FX​(x)=F(x,+∞)=∫−∞x​[∫−∞+∞​f(u,v)dv]dufX​(x)=∫−∞+∞​f(x,y)dyfY​(y)=∫−∞+∞​f(x,y)dxfY∣X​(y∣x)=fX​(x)f(x,y)​fX∣Y​(x∣y)=fY​(y)f(x,y)​f(x,y)=fX​(x)fY∣X​(y∣x)=fY​(y)fX∣Y​(x∣y)FY∣X​(y∣x)=∫−∞y​fY∣X​(v∣x)dv=∫−∞y​fX​(x)f(x,v)​dvFX∣Y​(x∣y)=∫−∞x​fX∣Y​(u∣y)du=∫−∞x​fY​(y)f(u,y)​du​

常见的微微离散型、连续型分布

二维均匀分布

$$f(x,y)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{S_D},& (x,y)\in D,\\ 0,& \text{ 其他 },\end{array}$$

其中 $S_D$ 为区域 $D$ 的面积

二维正态分布

$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{-\frac{1}{2\left(1-{\rho }^2\right)}\left[{\left(\frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\right)}^2-2\rho \left(\frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\right)\left(\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\right)+{\left(\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\right)}^2\right]\right\}$$

其中 ${\mu }_1\in \mathbf{R},{\mu }_2\in \mathbf{R},{\sigma }_1>0,{\sigma }_2>0,-1<\rho <1$, 则称 $(X,Y)$ 服从参数为 ${\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho$ 的二维正态分布, 记为 $(X,Y)\sim N\left({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2;\rho \right).$ 此时有:
(1) $X\sim N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right),Y\sim N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right),\rho$ 为 $X$ 与 $Y$ 的相关系数, 即
$$\rho =\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}$$
(2) $X,Y$ 的条件分布都是正态分布.
(3) $aX+bY(a\ne 0$ 或 $b\ne 0$ )服从正态分布.
(4) $X$ 与 $Y$ 相互独立的充要条件是 $X$ 与 $Y$ 不相关, 即 $\rho =0$

随机变量的相互独立性

F ( x , y ) = F X ( x ) ⋅ F Y ( y )    ⟺    X 与 Y 相 互 独 立 F ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = F 1 ( x 1 ) ⋯ F n ( x n )    ⟺    X 1 , X 2 , ⋯   , X n 相 互 独 立 P { X 1 ⩽ x 1 , ⋯   , X n ⩽ x n ; Y 1 ⩽ y 1 , ⋯   , Y m ⩽ y m } = P { X 1 ⩽ x 1 , ⋯   , X n ⩽ x n } ⋅ P { Y 1 ⩽ y 1 , ⋯   , Y m ⩽ y m } 即   F ( x 1 , ⋯   , x n , y 1 , ⋯   , y m ) = F 1 ( x 1 , ⋯   , x n ) ⋅ F 2 ( y 1 , ⋯   , y m )    ⟺    ( X 1 , X 2 , ⋯   , X n ) 与 ( Y 1 , Y 2 , ⋯   , Y m ) 相 互 独 立 P { X 1 = x 1 , ⋯   , X n = x n } = ∏ n P { X i = x i }       （ 离 散 型 ， 且 相 互 独 立 ） f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = f 1 ( x 1 ) ⋅ f 2 ( x 2 ) , ⋯   , f n ( x n )     （ 连 续 型 ， 且 相 互 独 立 ） X , Y 独 立    ⟹    P { X = x i ∣ Y = y j } = P { X = x i } ( P { Y = y j } > 0 ) P { Y = y j ∣ X = x i } = P { Y = y j } ( P { X = x i } > 0 )     （ 离 散 型 ） X , Y 独 立    ⟹    f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) = f X ( x ) ( f Y ( y ) > 0 ) f Y ∣ X ( y ∣ x ) = f ( x , y ) f X ( x ) = f Y ( y ) ( f X ( x ) > 0 ) X 1 , X 2 , ⋯   , X n 相 互 独 立    ⟹    g 1 ( X 1 ) , g 2 ( X 2 ) , ⋯   , g n ( X n ) 相 互 独 立     （ g ( x ) 为 一 元 连 续 函 数 ） \begin{aligned} & F(x, y)=F_{X}(x) \cdot F_{Y}(y) \iff X与Y相互独立 \\\\ & F\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=F_{1}\left(x_{1}\right) \cdots F_{n}\left(x_{n}\right) \iff X_1,X_2,\cdots,X_n 相互独立 \\\\ & P\left\{X_{1} \leqslant x_{1}, \cdots, X_{n} \leqslant x_{n} ; Y_{1} \leqslant y_{1}, \cdots, Y_{m} \leqslant y_{m}\right\}=P\left\{X_{1} \leqslant x_{1}, \cdots, X_{n} \leqslant x_{n}\right\} \cdot P\left\{Y_{1} \leqslant y_{1}, \cdots, Y_{m} \leqslant y_{m}\right\} \\ & 即 ~F\left(x_{1}, \cdots, x_{n}, y_{1}, \cdots, y_{m}\right)=F_{1}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \cdot F_{2}\left(y_{1}, \cdots, y_{m}\right) \\ & \iff (X_1,X_2,\cdots, X_n) 与(Y_1,Y_2,\cdots, Y_m) 相互独立 \\\\ & P\left\{X_{1}=x_{1}, \cdots, X_{n}=x_{n}\right\}=\prod^{n} P\left\{X_{i}=x_{i}\right\} ~~~~~（离散型，且相互独立） \\\\ & f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=f_{1}\left(x_{1}\right) \cdot f_{2}\left(x_{2}\right), \cdots, f_{n}\left(x_{n}\right) ~~~（连续型，且相互独立）\\\\ & X,Y独立 \implies \begin{array}{ll} P\left\{X=x_{i} \mid Y=y_{j}\right\}=P\left\{X=x_{i}\right\} & \left(P\left\{Y=y_{j}\right\}>0\right) \\ P\left\{Y=y_{j} \mid X=x_{i}\right\}=P\left\{Y=y_{j}\right\} & \left(P\left\{X=x_{i}\right\}>0\right) \end{array} ~~~（离散型）\\\\ & X,Y独立 \implies \begin{aligned} &f_{X \mid Y}(x \mid y)=\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)}=f_{X}(x) \quad\left(f_{Y}(y)>0\right) \\ &f_{Y \mid X}(y \mid x)=\frac{f(x, y)}{f_{X}(x)}=f_{Y}(y) \quad\left(f_{X}(x)>0\right) \end{aligned} \\\\ & X_1,X_2,\cdots ,X_n 相互独立 \implies g_1(X_1),g_2(X_2),\cdots,g_n(X_n) 相互独立 ~~~（g(x)为一元连续函数） \end{aligned} ​F(x,y)=FX​(x)⋅FY​(y)⟺X与Y相互独立F(x1​,x2​,⋯,xn​)=F1​(x1​)⋯Fn​(xn​)⟺X1​,X2​,⋯,Xn​相互独立P{ X1​⩽x1​,⋯,Xn​⩽xn​;Y1​⩽y1​,⋯,Ym​⩽ym​}=P{ X1​⩽x1​,⋯,Xn​⩽xn​}⋅P{ Y1​⩽y1​,⋯,Ym​⩽ym​}即 F(x1​,⋯,xn​,y1​,⋯,ym​)=F1​(x1​,⋯,xn​)⋅F2​(y1​,⋯,ym​)⟺(X1​,X2​,⋯,Xn​)与(Y1​,Y2​,⋯,Ym​)相互独立P{ X1​=x1​,⋯,Xn​=xn​}=∏n​P{ Xi​=xi​}     （离散型，且相互独立）f(x1​,x2​,⋯,xn​)=f1​(x1​)⋅f2​(x2​),⋯,fn​(xn​)   （连续型，且相互独立）X,Y独立⟹P{ X=xi​∣Y=yj​}=P{ X=xi​}P{ Y=yj​∣X=xi​}=P{ Y=yj​}​(P{ Y=yj​}>0)(P{ X=xi​}>0)​   （离散型）X,Y独立⟹​fX∣Y​(x∣y)=fY​(y)f(x,y)​=fX​(x)(fY​(y)>0)fY∣X​(y∣x)=fX​(x)f(x,y)​=fY​(y)(fX​(x)>0)​X1​,X2​,⋯,Xn​相互独立⟹g1​(X1​),g2​(X2​),⋯,gn​(Xn​)相互独立   （g(x)为一元连续函数）​

多维随机变量函数的分布

P { U = g ( x i , y i ) } = P { X = x i , Y = y j } = p i j F U ( u ) = P { U ⩽ u } = P { g ( X , Y ) ⩽ u } = ∑ g ( x i , y j ) ⩽ u P { X = x i , Y = y j } \begin{aligned} & P\left\{U=g\left(x_{i}, y_{i}\right)\right\}=P\left\{X=x_{i}, Y=y_{j}\right\}=p_{i j} \\\\ & F_{U}(u)=P\{U \leqslant u\}=P\{g(X, Y) \leqslant u\}=\sum_{g\left(x_{i}, y_{j}\right) \leqslant u} P\left\{X=x_{i}, Y=y_{j}\right\} \end{aligned} ​P{ U=g(xi​,yi​)}=P{ X=xi​,Y=yj​}=pij​FU​(u)=P{ U⩽u}=P{ g(X,Y)⩽u}=g(xi​,yj​)⩽u∑​P{ X=xi​,Y=yj​}​