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上一章：多元线性回归模型
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放宽基本假定的模型
●前述计量经济学模型的回归分析，是在对线性回归模型提出若干基本假定的条件下，应用普通最小二乘法得到了无偏且有效的参数估计量。但是，在实际的计量经济学问题中，完个满足这些基本假定的情况并小多见。不满足基本假定的情况，称为基本假定违背，主要包括:
①随机干扰项序列存在异方差性
②随机干扰项序列存在序列相关性
③解释变量之间存在多重共线性
④解释变量是随机变量且与随机干扰项相关
4.1异方差性
●对于不同的样本点，随机干扰项的方差不再是常数，而是互不相同，则认为出现了异方差性。
一、异方差的类型
●异方差的类型：
①单调递增型:αi2可随X的增大而增大
②单调递减型: αi2可随X的增大而减小
③复杂型: αi2与X的变化呈复杂形式
图示：
二、实际经济生活中的异常差性
●一般经验告诉我们，对于采用截面数据作样本的计量经济学问题，由于在不同样本点上解释变量以外的其他因素的差异较大，所以往往存在异方差性。
三、异方差性的后果
●计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采用普通最小二乘法估计模型
参数，会产生一系列不良的后果。
①参数估计量非有效
当计量经济学模型出现异方差性时，其普通最小二乘法参数估计量仍然具有线性、无偏性，但不具有有效性。
②变量的显著性检验失去意义
对于一元线性回归模型：
β1的最小二乘估计有：
可以证明，存在异方差的情况下正确的β1估计值的方差为：
而普通最小二乘法仍按下式给出β1估计值的方差估计：
只有同方差性满足时，上面二式才能相等。否则普通最小二乘法给出的估计结果就会出现偏误。在有偏误的方差基础上构造的t检验也就失去了意义。
③模型的预测失效
当模型出现异方差性时，仍然使用普通最小二乘估计量，将导致预测区间偏大或偏小，预测功能失效。
四、异方差性检验
●异方差检验思路：异方差性，即相对于不同的样本点，也就是相对于不同的解释变量观测值，随机干扰项具有不同的方差。那么检验异方差性，也就是检验随机干扰项的方差与解释变量观测值之间的相关性。
●随机干扰项方差的表示：一般处理方法是首先采用普通最小二乘法估计模型，以求得随机干扰项的“近似估计量”。
●异方差检验方法：
①图示检验法
②帕克(Park)检验与戈里瑟检验
③G-Q检验
G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较大，异方差为单调递增或单调递减的情况。其基本思想是:先按某解释变量对样本排序，再将排序后的样本一分为二，对两个子样分别进行普通最小二乘回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构造F统计量进行异方差检验。
④怀特(White)检验
G-Q检验需要按某一被认为有可能引起异方差的解释变量观测值的大小排序，因此，可能需对各个解释变量进行轮流试验，而且，该方法只能检验单调递增或单调递减型异方差。怀特检验则不需要排序，且对任何形式的异方差都适用。
则可在大样本下,对统计量n*R2进行相应的卡方检验。
五、异方差的修正
1.加权最小二乘法
●加权最小二乘法也称为广义最小二乘法。因为加权最小二乘法具有比普通最小二乘法更普遍的意义，或者说普通最小二乘法只是加权最小二乘法中权恒取1时的一种特殊情况。
●加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模
型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。加权的基本思想是:在采用普通最小二乘法时，对较小的残差平方ei2赋予较大的权数，对较大的ei2赋予较小的权数，以对残差提供的信息的重要程度作一番校正，提高参数估计的精度。
●由于加权最小二乘法中的权，或者说原模型中μ的方差与各X间适当的函
数关系是估计出来的，因此这一广义最小二乘法也称为可行的广义最小二乘法, 由广义最小二乘法得到的原模型中的估计量称为可行的广义最小二乘估计量。
2.异方差稳健标准误法
●在存在异方差时，异方差稳健标准误法虽不能得到有效的估计量，但由于可以得到普通最小二乘估计量正确的方差估计，从而使得以估计量方差为基础的各种统计检验不再失效、建立的预测区间也更加可信，因此异方差稳健标准误法就成为在不能较好地实施加权最小二乘法时，消除异方差性不良后果的主要手段。
4.2序列相关性
●多元线性回归模型的基本假设之一是模型的随机干扰项相互独立或不相
关。如果模型的随机干扰项违背了相互独立的基本假设，称为存在序列相关性。
二、实际经济问题中的序列相关性
●实际经济问题中，序列相关性产生的原因主要来自以下三个方面：
①经济变量固有的惯性：大多数经济时间数据都有一个明显的特点，就是它的惯性，表现在时间序列数据不同时间的前后关联上。
②模型设定偏误：所谓模型设定偏误是指所设定的模型“不正确”，主要表现在模型中丢掉了重要的解释变量或模型函数形式有偏误。
③数据的编造：在实际经济问题中，有时为了需要，有些数据是通过已知数据生成的。因此，新生成的数据与原数据间就有了内在的联系，表现出序列相关性。
三、序列相关性的后果
●计量经济学模型旦出现序列相关性，如果仍采用普通最小二乘法估计模型参数，会产生许多不良后果：
①参数估计量非有效
当计量经济学模型出现序列相关性时，其普通最小二乘参数估计量仍然具有线性无偏性，但不具有有效性。
②变量的显著性检验失去意义
对于一元线性回归模型：
的最小二乘估计有：
可以证明存在一阶序列相关的情况下正确的β1估计值的方差为：
而普通最小二乘法仍按下式给出β1的方差估计：
显然，只有序列无关性满足时，上面二式才能相等。否则普通最小二乘法给出的估计结果就会出现偏误。在有偏误的方差基础上构造的t检验也就失去了意义。
③模型的预测失效
区间预测与参数估计量的方差有关，在方差估计有偏误的情况下，预测估计就不准确，预测精度降低。所以，当模型出现序列相关性时，它的预测功能失效。
四、序列相关性的检验
●序列相关性检验的共同思路：首先采用普通最小二乘法估计模型，以求得随机干扰项的“近似估计量”，然后通过分析这些“近似估计量”之间的相关性以达到判断随机干扰项是否具有序列相关性的目的。
●序列相关性检验方法：
①图示法
②回归检验法
对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在序列相关性。回归检验法的优点是一旦确定了模型存在序列相关性，也就同时知道了相关的形式，而且它适用于任何类型的序列相关性问题的检验。
③D.W检验法
D.W检验法的假设条件：
杜宾和瓦森针对原假设H0:ρ=0,即μt不存在一阶自回归，构造如下统计量：
该统计量的分布与出现和给定样本中的X值有复杂的关系，因此其精确的分布很难得到。但杜宾和瓦森针成功地导出了临界值的上限dU与下限dL，且这些上下限只与样木容量n，和解释变量的个数k有关，而与解释变量的取值无关。
检验时，只须计算该统计量的值，再根据样本容量n和解释变量个数k，查D. W分布表，得到上限dU与下限dL.然后按照下列准则考察计算得到的D. W.值，以判断模型的自相关状态:
从判断准则中看到，存在一个不能确定的D. W.值区域，这是这种检验方法的一大缺陷。而且DW检验只能检验一阶自相关，并且对存在滞后被解释变量的模型无法检验。
④拉格朗日乘数(LM)检验
拉格朗日乘数检验克服了D. W检验的缺陷，适合于高阶序列相关及模型中存在滞后被解释变量的情形。它是由布劳殊((Hceusch)与戈弗雷(Qodfrey)于1978年提出的，也称为GB检验。
如果怀疑随机干扰项存在p阶序列相关:
拉格朗日乘数检验就可用来检验如下受约束回归方程:
约束条件为:
如果约束条件H0为真，则LM统计量服从大样本下自由度为p的渐近卡方分布：
其中，n,R2分别为如下辅助回归的样本容量与可决系数：
如果计算的LM统计量的值超过临界值(显著性水平α下，自由度为p的卡方分布的临界值)，则拒绝约束条件为真的原假设，表明可能存在直到p阶的序列相关性。
五、序列相关的补救
●序列相关的补救方法：
①广义最小二乘法
②广义差分法
③序列相关稳健误差法:
与存在异方差时的情形相类似，序列相关稳健标准误法虽不能得到有效的
估计量，但由手可以得到普通最小二乘估计量正确的方差估计，从而使得以估计量方差为基础的各种统计检验不再失效、建立的预测区间也更加可信，因此序列相关稳健标准误法就成为在不能较好地实施广义最小二乘法时，消除异方差性不良后果的主要手段。
●随机干扰项相关系数的估计
六、虚假序列相关问题
●由于随机干扰项的序列相关往往是在模型设定中遗漏了重要的解释变量
或对模型的函数形式设定有误时出现的，这种情形可称为虚假序列相关，应在模型设定中排除。
4.3多重共线性
一、多重共线性
●如果某两个或多个解释变量之间出现了相关性，则称为存在多重共线性。
●多重共线性可以分为完全共线性和近似共线性。完全共线性的情况并不多见，般出现的是在一定程度上的共线性，即近似共线性。
二、实际经济问题中的共线性
●一般地，产生多重共线性的主要原因有以下三个方面：
①经济变量相关的共同趋势：时间序列样本中发生多重共线性的主要原因在于许多基本经济变量存在相关的共同趋势。
②滞后变量的引入
③样本资料的限制：由于完全符合理论模型所要求的样本数据较难收集，在现有数据条件下，特定样本可能存在某种程度的多重共线性
三、多重共线性的后果
●计量经济学模型一旦出现多重共线性，如果仍采用普通最小二乘法估计模
型参数，会产生下列不良后果:
①完全共线性下参数估计量不存在
②近似共线性下普通最小二乘法参数估计量的方差变大
③参数估计量的经济含义不合理
④变量的显著性检验和预测功能失去意义
四、多重共线性的检验
●检验多重共线性是否存在
①对两个解释变量的模型，采用简单相关系数法
求出X1与X2的简单相关系数r，若|r|接近1，则说明两变量存在较强的多重共线性。
②对多个解释变量的模型，采用综合统计检验法
若在普通最小二乘法下，模型的R2与F值较大，但各参数估计值的t检验值较小，说明各解释变量对Y的联合线性作用显著，但各解释变量间存在共线性而使得它们对Y的独立作用不能分辨，故t检验不显著。
●判明存在多重共线性的范围
①判定系数检验法
②逐步回归法
以Y为被解释变量，逐个引入解释变量，构成回归模型，进行模型估计。根据拟合优度的变化决定新引入的变量是否可以用其他变量的线性组合代替，而不是作为独立的解释变量。如果拟合优度变化显著，则说明新引入的变量是一个独立解释变量；如果拟合优度变化很不显著，则说明新引入的变量不是一个独立解释变量，它可以用其他变量的线性组合代替，也就是说它与其他变量之间存在共线性的关系。
五、克服多重共线性的方法
●如果模型被证明存在多重共线性，则需要发展新的方法估计模型，最常用的方法有三类:
①排除引起共线性的变量：找出引起多重共线性的解释变量，将它排除出去，是最为有效地克服多重共线性问题的方法，所以逐步回归法得到了最为广泛的应用。但是，需要特别注意的是，当排除了某个或某些变量后，保留在模型中的变量的系数的经济意义将发生变化，其估计值也将发生变化。
②差分法：对于以时间序列数据为样本，以直接线性关系为模型关系形式的计量经济学模型，将原模型变换为差分模型。可以有效地消除存在于原模型中的多重共线性。这是由经济时间序列数据的内在性质决定的。一般讲，增量之间的线性关系远比总量之间的线性关系弱一些。
③减小参数估计量的方差：多重共线性的主要后果是参数估计量具有较大的方差。可以采取适当方法减小参数估计量的方差，虽然没有消除模型中的多重共线性，却能消除多重共线性造成的后果。岭回归法，就是以引入偏误为代价，减小参数估计量的方差。
4.4随机解释变量问题
●单方程线性计量经济学模型假设解释变量是确定性变量，并且与随机干扰项不相关。违背这一基本假设的问题被称为随机解释变量问题。
一、随机解释变量问题
●对于随机解释变量问题可以分为以下3种情况：
①随机解释变量与随机干扰项独立
②随机解释变量与随机干扰项同期无关但异期相关
③随机解释变量与随机干扰项同期相关
●如果某解释变量是确定性变量，则该解释变量一定与随机误差项独立。如果解释变量是随机变量，若随机解释变量与随机误差项同期无关，这时随机解释变量被称为是同期外生的，若随机解释变量与随机误差项既不同期相关，也不异期相关，则称该随机解释变量是严格外生的。
二、实际经济问题中的随机解释变量问题
●在实际经济问题中，经济变量往往都具有随机性。但是在单方程计量经济学模型中，凡是外生变量都被认为是确定性的。于是随机解释变量问题主要表现于用滞后被解释变量作为模型的解释变量的情况。
三、随机解释变量的后果
●如果随机解释变量与随机干扰项呈正相关：则在抽取样本时，容易出现X值较小的点在总体回归线下方，而X值较大的点在总体回归线上方的情况，因此，拟合的样本回归线则可能低估截趾项，而高估斜率项。
如图：
如果随机解释变量与随机干扰项呈负相关：则往往导致拟合的样本回归线高估截距项而低估斜率项。
如图：
●随机解释变量X与随机干扰项μ的关系不同，参数普通最小二乘估计量的统计性质也会不同，同样分三种不同情况:
①随机解释变量X与随机干扰项μ相互独立，得到的参数估计量仍然是无偏一致估计量。
②随机解释变量X与随机干扰项μ同期不相关，而异期相关，得到的参数估计最有偏，但却是一致的。
③随机解释变量X与随机干扰项μ同期相关，得到的参数估计量是有偏且非一致。
需要说明的是，如果模型中带有滞后被解释变量作为解释变量，则当该滞后被解释变量与随机干扰项同期相关时，普通最小二乘估计量是有偏的且非一致的，即使同期无关，其普通最小二乘估计量也是有偏的，因为此时肯定出现异期相关。
四、工具变量法
●模型中出现随机解释变量并且与随机干扰项相关时，普通最小二乘估计量是有偏的。如果随机解释变量与随机干扰项异期相关，则可以通过增大样本容量的办法来得到一致的估计量；但如果是同期相关，即使增大样本容量也无济于事这时，最常用的估计方法是工具变量法。
●工具变量的选取
工具变量，顾名思义是在模型估计过程中被作为工具使用，以 “替代”与随机干扰项相关的随机解释变量。如果选Z作为Xj的工具变量，Z必须满足以下条件:
①与所替代的随机解释变量高度相关:Cov(Z,Xj)≠0
②与随机干扰项不相关: Cov(Z,μ)=0
③与模型中其他解释变量不相关，以避免出现多重共线性。
●尽管工具变量估计法在大样本下具有一致性，但容易验证在小样本下工具变量法估计量仍是有偏的.
●对于工具变量法，有3点需要特别指出：
①经常产生一种误解，以为采用工具变量法是将原模型中的随机解释变量换成工具变量，即改变了原来的模型。实际上，工具变量法并没有改变原模型，只是在原模型的参数估计过程中用工具变最“替代”随机解释变量。
或者说，上述工具变量法估计过程可等价地分解成下面两个阶段的普通最小二乘回归:
②如果一个随机解释变量可以找到多个相互独立的工具变量，人们希望充分利用这些工具变量的信息，就形成了广义矩方法(GMM)
③要找到与随机干扰项不相关而又与随机解释变量相关的工具变量并不是一件很容易的事。但如果考虑到随机解释变量与随机干扰项相关的主要来源是由于同期测量误差引起的，就可以用滞后一期的随机解释变量作为原解释变量的工具变量。
