贝叶斯决策
首先来看贝叶斯分类,我们都知道经典的贝叶斯公式:
其中:p(w):为先验概率,表示每种类别分布的概率;:类条件概率,表示在某种类别前提下,某事发生的概率;而为后验概率,表示某事发生了,并且它属于某一类别的概率,有了这个后验概率,我们就可以对样本进行分类。后验概率越大,说明某事物属于这个类别的可能性越大,我们越有理由把它归到这个类别下。
我们来看一个直观的例子:已知:在夏季,某公园男性穿凉鞋的概率为1/2,女性穿凉鞋的概率为2/3,并且该公园中男女比例通常为2:1,问题:若你在公园中随机遇到一个穿凉鞋的人,请问他的性别为男性或女性的概率分别为多少?
从问题看,就是上面讲的,某事发生了,它属于某一类别的概率是多少?即后验概率。
设:
由已知可得:
男性和女性穿凉鞋相互独立,所以
(若只考虑分类问题,只需要比较后验概率的大小,的取值并不重要)。
由贝叶斯公式算出:
问题引出:但是在实际问题中并不都是这样幸运的,我们能获得的数据可能只有有限数目的样本数据,而先验概率和类条件概率(各类的总体分布)都是未知的。根据仅有的样本数据进行分类时,一种可行的办法是我们需要先对先验概率和类条件概率进行估计,然后再套用贝叶斯分类器。
先验概率的估计较简单,1、每个样本所属的自然状态都是已知的(有监督学习);2、依靠经验;3、用训练样本中各类出现的频率估计。
类条件概率的估计(非常难),原因包括:概率密度函数包含了一个随机变量的全部信息;样本数据可能不多;特征向量x的维度可能很大等等。总之要直接估计类条件概率的密度函数很难。
解决的办法就是,把估计完全未知的概率密度转化为估计参数。这里就将概率密度估计问题转化为参数估计问题,极大似然估计就是一种参数估计方法。当然了,概率密度函数的选取很重要,模型正确,在样本区域无穷时,我们会得到较准确的估计值,如果模型都错了,那估计半天的参数,肯定也没啥意义了。
重要前提
上面说到,参数估计问题只是实际问题求解过程中的一种简化方法(由于直接估计类条件概率密度函数很困难)。所以能够使用极大似然估计方法的样本必须需要满足一些前提假设。
重要前提:训练样本的分布能代表样本的真实分布。每个样本集中的样本都是所谓独立同分布的随机变量 (iid条件),且有充分的训练样本。
极大似然估计
极大似然估计的原理,用一张图片来说明,如下图所示:
总结起来,最大似然估计的目的就是:利用已知的样本结果,反推最有可能(最大概率)导致这样结果的参数值。
原理:极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法,是概率论在统计学中的应用。极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法,即:“模型已定,参数未知”。通过若干次试验,观察其结果,利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大,则称为极大似然估计。
由于样本集中的样本都是独立同分布,可以只考虑一类样本集D,来估计参数向量θ。记已知的样本集为:
似然函数(linkehood function):联合概率密度函数称为相对于的θ的似然函数。
如果是参数空间中能使似然函数最大的θ值,则应该是“最可能”的参数值,那么就是θ的极大似然估计量。它是样本集的函数,记作:
求解极大似然函数
ML估计:求使得出现该组样本的概率最大的θ值。
实际中为了便于分析,定义了对数似然函数:
1. 未知参数只有一个(θ为标量)
在似然函数满足连续、可微的正则条件下,极大似然估计量是下面微分方程的解:
2.未知参数有多个(θ为向量)
则θ可表示为具有S个分量的未知向量:
记梯度算子:
若似然函数满足连续可导的条件,则最大似然估计量就是如下方程的解。
方程的解只是一个估计值,只有在样本数趋于无限多的时候,它才会接近于真实值。
极大似然估计的例子
例1:设样本服从正态分布,则似然函数为:
它的对数:
求导,得方程组:
联合解得:
似然方程有唯一解:,而且它一定是最大值点,这是因为当或时,非负函数。于是U和的极大似然估计为。
例2:设样本服从均匀分布[a, b]。则X的概率密度函数:
对样本:
很显然,L(a,b)作为a和b的二元函数是不连续的,这时不能用导数来求解。而必须从极大似然估计的定义出发,求L(a,b)的最大值,为使L(a,b)达到最大,b-a应该尽可能地小,但b又不能小于,否则,L(a,b)=0。类似地a不能大过,因此,a和b的极大似然估计:
总结
求最大似然估计量的一般步骤:
(1)写出似然函数;
(2)对似然函数取对数,并整理;
(3)求导数;
(4)解似然方程。
最大似然估计的特点:
1.比其他估计方法更加简单;
2.收敛性:无偏或者渐近无偏,当样本数目增加时,收敛性质会更好;
3.如果假设的类条件概率模型正确,则通常能获得较好的结果。但如果假设模型出现偏差,将导致非常差的估计结果。
% 二维正态分布的两分类问题 (ML估计) clc; clear; % 两个类别数据的均值向量 Mu = [0 0; 3 3]'; % 协方差矩阵 S1 = 0.8 * eye(2); S(:, :, 1) = S1; S(:, :, 2) = S1; % 先验概率(类别分布) P = [1/3 2/3]'; % 样本数据规模 % 收敛性:无偏或者渐进无偏,当样本数目增加时,收敛性质会更好 N = 500; % 1.生成训练和测试数据 %{ 生成训练样本 N = 500, c = 2, d = 2 μ1=[0, 0]' μ2=[3, 3]' S1=S2=[0.8, 0; 0.8, 0] p(w1)=1/3 p(w2)=2/3 %} randn('seed', 0); [X_train, Y_train] = generate_gauss_classes(Mu, S, P, N); figure(); hold on; class1_data = X_train(:, Y_train==1); class2_data = X_train(:, Y_train==2); plot(class1_data(1, :), class1_data(2, :), 'r.'); plot(class2_data(1, :), class2_data(2, :), 'g.'); grid on; title('训练样本'); xlabel('N=500'); %{ 用同样的方法生成测试样本 N = 500, c = 2, d = 2 μ1=[0, 0]' μ2=[3, 3]' S1=S2=[0.8, 0; 0.8, 0] p(w1)=1/3 p(w2)=2/3 %} randn('seed', 100); [X_test, Y_test] = generate_gauss_classes(Mu, S, P, N); figure(); hold on; test1_data = X_test(:, Y_test==1); test2_data = X_test(:, Y_test==2); plot(test1_data(1, :), test1_data(2, :), 'r.'); plot(test2_data(1, :), test2_data(2, :), 'g.'); grid on; title('测试样本'); xlabel('N=500'); % 2.用训练样本采用ML方法估计参数 % 各类样本只包含本类分布的信息,也就是说不同类别的参数在函数上是独立的 [mu1_hat, s1_hat] = gaussian_ML_estimate(class1_data); [mu2_hat, s2_hat] = gaussian_ML_estimate(class2_data); mu_hat = [mu1_hat, mu2_hat]; s_hat = (1/2) * (s1_hat + s2_hat); % 3.用测试样本和估计出的参数进行分类 % 使用欧式距离进行分类 z_euclidean = euclidean_classifier(mu_hat, X_test); % 使用贝叶斯方法进行分类 z_bayesian = bayes_classifier(Mu, S, P, X_test); % 4.计算不同方法分类的误差 err_euclidean = ( 1-length(find(Y_test == z_euclidean')) / length(Y_test) ); err_bayesian = ( 1-length(find(Y_test == z_bayesian')) / length(Y_test) ); % 输出信息 disp(['基于欧式距离分类的误分率:', num2str(err_euclidean)]); disp(['基于最小错误率贝叶斯分类的误分率:', num2str(err_bayesian)]); % 画图展示 figure(); hold on; z_euclidean = transpose(z_euclidean); o = 1; q = 1; for i = 1:size(X_test, 2) if Y_test(i) ~= z_euclidean(i) plot(X_test(1,i), X_test(2,i), 'bo'); elseif z_euclidean(i)==1 euclidean_classifier_results1(:, o) = X_test(:, i); o = o+1; elseif z_euclidean(i)==2 euclidean_classifier_results2(:, q) = X_test(:, i); q = q+1; end end plot(euclidean_classifier_results1(1, :), euclidean_classifier_results1(2, :), 'r.'); plot(euclidean_classifier_results2(1, :), euclidean_classifier_results2(2, :), 'g.'); title(['基于欧式距离分类,误分率为:', num2str(err_euclidean)]); grid on; figure(); hold on; z_bayesian = transpose(z_bayesian); o = 1; q = 1; for i = 1:size(X_test, 2) if Y_test(i) ~= z_bayesian(i) plot(X_test(1,i), X_test(2,i), 'bo'); elseif z_bayesian(i)==1 bayesian_classifier_results1(:, o) = X_test(:, i); o = o+1; elseif z_bayesian(i)==2 bayesian_classifier_results2(:, q) = X_test(:, i); q = q+1; end end plot(bayesian_classifier_results1(1, :), bayesian_classifier_results1(2, :), 'r.'); plot(bayesian_classifier_results2(1, :), bayesian_classifier_results2(2, :), 'g.'); title(['基于最小错误率的贝叶斯决策分类,误分率为:', num2str(err_bayesian)]); grid on;
生成数据的函数:
function [ data, C ] = generate_gauss_classes( M, S, P, N )
%{
函数功能:
生成样本数据,符合正态分布
参数说明:
M:数据的均值向量
S:数据的协方差矩阵
P:各类样本的先验概率,即类别分布
N:样本规模
函数返回
data:样本数据(2*N维矩阵)
C:样本数据的类别信息
%}
[~, c] = size(M);
data = [];
C = [];
for j = 1:c
% z = mvnrnd(mu,sigma,n);
% 产生多维正态随机数,mu为期望向量,sigma为协方差矩阵,n为规模。
% fix 函数向零方向取整
t = mvnrnd(M(:,j), S(:,:,j), fix(P(j)*N))';
data = [data t];
C = [C ones(1, fix(P(j) * N)) * j];
end
end
正态分布的ML估计(对训练样本):
function [ m_hat, s_hat ] = gaussian_ML_estimate( X ) %{ 函数功能: 样本正态分布的最大似然估计 参数说明: X:训练样本 函数返回: m_hat:样本由极大似然估计得出的正态分布参数,均值 s_hat:样本由极大似然估计得出的正态分布参数,方差 %} % 样本规模 [~, N] = size(X); % 正态分布样本总体的未知均值μ的极大似然估计就是训练样本的算术平均 m_hat = (1/N) * sum(transpose(X))'; % 正态分布中的协方差阵Σ的最大似然估计量等于N个矩阵的算术平均值 s_hat = zeros(1); for k = 1:N s_hat = s_hat + (X(:, k)-m_hat) * (X(:, k)-m_hat)'; end s_hat = (1/N)*s_hat; end % 详细的计算过程推导可以参考前一篇博客:极大似然估计详解。
有了估计参数,对测试数据进行分类:
基于欧式距离的分类:
function [ z ] = euclidean_classifier( m, X )
%{
函数功能:
利用欧式距离对测试数据进行分类
参数说明:
m:数据的均值,由ML对训练数据,参数估计得到
X:我们需要测试的数据
函数返回:
z:数据所属的分类
%}
[~, c] = size(m);
[~, n] = size(X);
z = zeros(n, 1);
de = zeros(c, 1);
for i = 1:n
for j = 1:c
de(j) = sqrt( (X(:,i)-m(:,j))' * (X(:,i)-m(:,j)) );
end
[~, z(i)] = min(de);
end
end
基于最小错误率的贝叶斯估计:
function [ z ] = bayes_classifier( m, S, P, X ) %{ 函数功能: 利用基于最小错误率的贝叶斯对测试数据进行分类 参数说明: m:数据的均值 S:数据的协方差 P:数据类别分布概率 X:我们需要测试的数据 函数返回: z:数据所属的分类 %} [~, c] = size(m); [~, n] = size(X); z = zeros(n, 1); t = zeros(c, 1); for i = 1:n for j = 1:c t(j) = P(j) * comp_gauss_dens_val( m(:,j), S(:,:,j), X(:,i) ); end [~, z(i)] = max(t); end end
function [ z ] = comp_gauss_dens_val( m, s, x ) %{ 函数功能: 计算高斯分布N(m, s),在某一个特定点的值 参数说明: m:数据的均值 s:数据的协方差 x:我们需要计算的数据点 函数返回: z:高斯分布在x出的值 %} z = ( 1/( (2*pi)^(1/2)*det(s)^0.5 ) ) * exp( -0.5*(x-m)'*inv(s)*(x-m) ); end