Coursera - Dan Boneh - Cryptography 1 - Week 1 - Stream Ciphers 1 学习笔记【3】

承接上一篇文章。

1.对称密码（Symmetric Ciphers）

首先我们给出密码（cipher）的定义：

1.1.密码（Cipher）

定义：密码包括了三个集合 $(\mathcal{K},\mathcal{M},\mathcal{C})$，以及在三个集合上的两个“有效的”算法 $(E,D)$，其中：
$\mathcal{K}$：表示密钥的集合（即密钥能取到的值）；
$\mathcal{M}$：表示明文的集合；
$\mathcal{C}$：表示密文的集合；
$E$：加密函数，表示密钥集合和明文集合到密文集合的映射： $E:\mathcal{K}\times\mathcal{M}\rightarrow\mathcal{C}$;
$D$：解密函数，表示密钥集合和密文集合到明文集合的映射： $D:\mathcal{K}\times\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{M}$。

Mark：

1. 密码定义了五个元素，包括了三个集合和两个函数，密码学由此展开。
2. “有效的”：在实践中，可以理解为能在规定的时间（如1分钟）内得到结果；在理论中，可以理解为多项式时间复杂度。
3. 一般来说， $E$是随机的； $D$是确定性的。

1.2.对称密码

对称密码是在密码（五个元素）的基础上定义的，多了一个条件：
$s.t.\ \forall m\in\mathcal{M},k\in\mathcal{K}:D(k,E(k,m))=m,$
即，对明文 $m$加密后，可以重新恢复到明文 $m$（二战以前的加密都是这样的）。

2.一次一密（One Time Pad，OTP）

一次一密，即每个明文 $m$都重新生成一个密钥 $k$。
一个简单的例子（也是对称密码的例子）：
$\mathcal{K}=\mathcal{M}=\mathcal{C}=\{0, 1\}^{n},$
加密函数： $c=E(k,m)=k\oplus m$,（ $\oplus$表示异或）
解密函数： $D(k,c)=k\oplus c.$

现在我们来验证一次一密是对称密码： $\forall m\in\mathcal{M},k\in\mathcal{K}$，有 $D(k,c)=D(k,E(k,m))=D(k,k\oplus m)=k\oplus(k\oplus m)=(k\oplus k)\oplus m=0\oplus m=m.$
即，上述的例子是对称密码。

3.完全保密（Perfect Secrecy）

想要让加密尽可能地不被破解，那么一个很基础的想法是知道了密文 $c$，推断不出明文 $m$的任何信息。

3.1.定义

香农Shannon在1949年提出的完全保密（perfect secrecy）也是基于这个思想：

定义：如果对于一个密码有 $\forall\ m_0,m_1\in\mathcal{M}$，满足 $len(m_0)=len(m_1)$且 $\forall\ c\in\mathcal{C}$，满足 $Pr[E(k,m_0)=c]=Pr[E(k,m_1)=c],$
其中 $k$是从 $\mathcal{K}$均匀抽样得到(即， $k\stackrel{R}{\leftarrow}\mathcal{K}$)，
则这个密码是完全保密。

mark：

1. 均匀抽样：表示每个元素都以 $\frac{1}{\mathcal{K}}$的概率抽取；
2. $len(m)$表示明文 $m$的长度；
3. 任意两个明文 $m_0,m_1$在同一个密钥 $k$加密下输出任意一个密文 $c$的概率相同，即已知密文 $c$不能区分出明文是 $m_0$还是 $m_1$，即从密文 $c$中学习不到任何明文的知识，即仅仅已经密文的攻击是无效的（当然还有其他攻击是有效的）！

一次一密（One Time Pad）中密文的长度是等于明文的，很难用于实际，但是它的思想非常重要！

3.2.一个不幸的消息

香农Shannon证明了如下定理：

定理：完全保密 $\Rightarrow |\mathcal{K}|\geq|\mathcal{M}|.$

Mark：如果一个密码是完全保密的，那么密文的长度必须要大于等于明文的！这导致了完全保密无法在实际中使用。假设Alice和Bob要通信，在通信之前他们要共享密钥 $k$，才能”安全“地传输信息 $m$，注意他们也必须要“安全”地共享密钥 $k$。既然已经能“安全”地共享密钥 $k$了，因为密钥 $k$的长度是大于等于明文的，所以他们完全可以通过“安全”共享密钥的方式“安全”地传输明文 $m$，那么 $k$就没什么价值了。

3.3.一个完全保密的例子

第一篇博客提到的定理是一个很好的完全保密的例子。