课堂笔记：树表的查找技术：二叉排序树（BST）

线性表查找是静态的查找，要在线性表上进行动态查找，存在以下的问题：
无序顺序表上进行动态查找，插入操作简单，但查找的复杂性高
有序顺序表上进行动态查找，查找的时间复杂性好，但是插入操作时间复杂性高
单链表上进行动态查找，插入操作简单，但查找操作复杂性高
解决办法： 采用二叉树这种数据结构，实现动态查找
二叉排序树（Binary Search Tree）
二叉排序树（也称二叉查找树）：或者是一棵空的二叉树，或者是具有下列性质的二叉树：
⑴若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
⑵若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
⑶ 它的左右子树也都是二叉排序树。
中序遍历二叉排序树可以得到一个按关键码有序的序列。

#include <iostream> 
using namespace std; 
template<class DataType>  
struct BiNode{    
	DataType data;     
	BiNode *lchild, *rchild;  
};
class BiSortTree { 
public:     
	BiSortTree(int a[ ], int n);      
	~ BiSortTree( ){Release(root);}  
	void InOrder( ){InOrder(root);}
	BiNode *InsertBST(int x) {return InsertBST(root, x);}
	BiNode *SearchBST(int k) {return SearchBST(root, k);}
	void DeleteBST(BiNode *p, BiNode *f );
private:
	void Release(BiNode *bt);    
	BiNode *InsertBST(BiNode *bt , int x);      
	BiNode *SearchBST(BiNode *bt, int k);     
	void InOrder(BiNode *bt);
	BiNode *root;
};

二叉排序树的插入
void InsertBST(BiNode * & root , BiNode *s);
分析：若二叉排序树为空树，则新插入的结点为新的根结点；否则，新插入的结点必为一个新的叶子结点，其插入位置由查找过程得到。
二叉排序树的插入算法：若二叉排序树为空树，则新插入的结点为新的根结点； 否则，如果插入的值比根节点值大，则在右子树中进行插入；否则，在左子树中进行插入。 递归。

BiNode *BiSortTree::InsertBST(BiNode *bt, int x) 
{  
	if (bt == NULL){
		BiNode *s = new BiNode;    
		s->data = x;   
		s->lchild = NULL;   
		s->rchild = NULL;   
		bt = s;   
		return bt;  
	}
	else if (bt->data > x)    
		bt->lchild = InsertBST(bt->lchild, x);  
	else   
		bt->rchild = InsertBST(bt->rchild, x); 
}

二叉排序树的构造
从空的二叉排序树开始，依次插入一个个结点 。

BiSortTree::BiSortTree(int a[ ], int n) 
{  
	root = NULL;  
	for (int i = 0; i < n; i++)   
		root = InsertBST(root, a[i]); 
}

二叉排序树的删除
在二叉排序树上删除某个结点之后，仍然保持二叉排序树的特性。
分三种情况讨论：
1、被删除的结点是叶子；
2、被删除的结点只有左子树或者只有右子树；
3、被删除的结点既有左子树，也有右子树。
情况1——被删除的结点是叶子结点
操作：将双亲结点中相应指针域的值改为空。
情况2——被删除的结点只有左子树或者只有右子树
操作：将双亲结点的相应指针域的值指向被删除结点的左子树（或右子树）。
情况3——被删除的结点既有左子树也有右子树
操作：以其前驱（左子树中的最大值）替代之，然后再删除该前驱结点。
操作：以其后继（右子树中的最小值）替代之，然后再删除该前驱结点。
二叉排序树的删除算法——伪代码
1、若结点p是叶子，则直接删除结点p；
2、若结点p只有左子树， 则只需重接p的左子树；若结点p只有右子树， 则只需重接p的右子树；
3、若结点p的左右子树均不空，则
3.1 查找结点p的右子树上的最左下结点s及s双亲结点par；
3.2 将结点s数据域替换到被删结点p的数据域；
3.3 若结点p的右孩子无左子树， 则将s的右子树接到par的右子树上；否则，将s的右子树接到结点par的左子树上；
3.4 删除结点s；

void BiSortTree::DeleteBST(BiNode<int> *p, BiNode<int> *f ) 
{   
	if (!p->lchild && !p->rchild)  
	{                  
		if(f->child==p)        
			f->lchild= NULL;                 
		else  
			f->lchild= NULL;                
		delete p;    
	}
	else if (!p->rchild) 
	{
		if(f->child==p)   
			f->lchild=p->lchild;              
		else 
			f->rchild=p->lchild;                 
		delete p;   
	}
	else if (!p->lchild) 
	{
		if(f->child==p)  
			f->lchild=p->rchild;    
		else 
			f->rchild=p->rchild;             
		delete p;          
	}
	else 
	{
		par=p;  
		s=p->rchild;                
		while (s->lchild!=NULL)       
		{                
			par=s;                
			s=s->lchild;              
		}
		p->data=s->data;              
		if (par==p) 
			p->rchild=s->rchild;              
		else 
			par->lchild=s->rchild;          
		delete s;            
	}
}         

二叉排序树的查找
在二叉排序树中查找给定值k的过程是：
⑴ 若root是空树，则查找失败；
⑵ 若k＝root->data，则查找成功；否则
⑶ 若k＜root->data，则在root的左子树上查找；否则
⑷ 在root的右子树上查找。
上述过程一直持续到k被找到或者待查找的子树为空，如果待查找的子树为空，则查找失败。
二叉排序树的查找效率在于只需查找两个子树之一。

BiNode *BiSortTree::SearchBST(BiNode<int> *root, int k) 
{     
	if (root==NULL)     
		return NULL；     
	else if (root->data==k)                
		return root;
	else if (k<root->data)                
		return SearchBST(root->lchild, k);     
	else            
		return SearchBST(root->rchild, k); 
}

二叉排序树的查找性能分析
二叉排序树的查找性能取决于二叉排序树的形状，在O(log2n)和O(n)之间。