BST结构特点
- 任意一个结点的关键字，都大于(小于)其左(右)子树中任意结点的关键字，因此各结点的关键字互不相同
- 按中序遍历二叉查找树所得的中序序列是一个递增的有序序列，因此，二叉查找树可以把无序序列变为有序序列。
- 同一个数据集合，可按关键字表示成不同的二叉查找树，即同一数据集合的二叉查找树不唯一；但中序序列相同。
- 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的关键字的值都小于根结点关键字的值；
- 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的关键字的值都大于根结点关键字的值；
- 它的左、右子树本身又是一个二叉查找树。
BST的创建和遍历
插入操作
- 二叉查找树的插入操作若二叉排序树为空树，则新插入的结点为根结点；
- 否则，新插入的结点必为一个新的叶结点
- 新插入的结点一定是查找不成功时，查找路径上最后一个结点的左儿子或右儿子。
//添加结点的方法
//递归的形式添加结点，注意需要满足二叉排序树的要求
public void add(Node node) {
if(node == null) {
return;
}
//判断传入的结点的值，和当前子树的根结点的值关系
if(node.value < this.value) {
//如果当前结点左子结点为null
if(this.left == null) {
this.left = node;
} else {
//递归的向左子树添加
this.left.add(node);
}
} else {
//添加的结点的值大于 当前结点的值
if(this.right == null) {
this.right = node;
} else {
//递归的向右子树添加
this.right.add(node);
}
}
}
使用中序遍历得到一个有序的数列
//中序遍历
public void infixOrder() {
if(this.left != null) {
this.left.infixOrder();
}
System.out.println(this);
if(this.right != null) {
this.right.infixOrder();
}
}
BST的删除
删除某结点，并保持二叉排序树特性，分三种情况处理：
-
第一种情况:删除叶子节点 ，直接删除
思路
(1) 需求先去找到要删除的结点 targetNode
(2) 找到targetNode 的 父结点 parent
(3) 确定 targetNode 是 parent的左子结点 还是右子结点
(4) 根据前面的情况来对应删除
左子结点 parent.left = null
右子结点 parent.right = null; -
第二种情况: 如果删除的结点只有一株左子树或右子树，则直接继承：将该子树移到被删结点位置；
思路
(1) 需求先去找到要删除的结点 targetNode
(2) 找到targetNode 的 父结点 parent
(3) 确定targetNode 的子结点是左子结点还是右子结点
(4) targetNode 是 parent 的左子结点还是右子结点
(5) 如果targetNode 有左子结点
5.1 如果 targetNode 是 parent 的左子结点
parent.left = targetNode.left;
5.2 如果 targetNode 是 parent 的右子结点
parent.right = targetNode.left;
(6) 如果targetNode 有右子结点
6.1 如果 targetNode 是 parent 的左子结点
parent.left = targetNode.right;
6.2 如果 targetNode 是 parent 的右子结点
parent.right = targetNode.right -
第三种情况 ： 删除有两颗子树的节点，则用继承结点代替被删结点，这相当于删除继承结点—(按 情况1或 2) 处理继承结点。
思路
(1) 需求先去找到要删除的结点 targetNode
(2) 找到targetNode 的 父结点 parent
(3) 从targetNode 的右子树找到最小的结点(或者左子树找到最小节点),作为继承节点，
(4) 用一个临时变量，将 最继承结点的值保存 temp
(5) 删除该继承结点
(6) targetNode.value = temp
//删除结点
public void delNode(int value) {
if(root == null) {
return;
}else {
//1.需求先去找到要删除的结点 targetNode
Node targetNode = search(value);
//如果没有找到要删除的结点
if(targetNode == null) {
return;
}
//如果我们发现当前这颗二叉排序树只有一个结点
if(root.left == null && root.right == null) {
root = null;
return;
}
//去找到targetNode的父结点
Node parent = searchParent(value);
//如果要删除的结点是叶子结点
if(targetNode.left == null && targetNode.right == null) {
//判断targetNode 是父结点的左子结点，还是右子结点
if(parent.left != null && parent.left.value == value) {
//是左子结点
parent.left = null;
} else if (parent.right != null && parent.right.value == value) {
//是由子结点
parent.right = null;
}
} else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null) {
//删除有两颗子树的节点
int minVal = delRightTreeMin(targetNode.right);
targetNode.value = minVal;
} else {
// 删除只有一颗子树的结点
//如果要删除的结点有左子结点
if(targetNode.left != null) {
if(parent != null) {
//如果 targetNode 是 parent 的左子结点
if(parent.left.value == value) {
parent.left = targetNode.left;
} else {
// targetNode 是 parent 的右子结点
parent.right = targetNode.left;
}
} else {
root = targetNode.left;
}
} else {
//如果要删除的结点有右子结点
if(parent != null) {
//如果 targetNode 是 parent 的左子结点
if(parent.left.value == value) {
parent.left = targetNode.right;
} else {
//如果 targetNode 是 parent 的右子结点
parent.right = targetNode.right;
}
} else {
root = targetNode.right;
}
}
}
}
}
//编写方法:
//1. 返回的 以node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
//2. 删除node 为根结点的二叉排序树的最小结点
/**
*
* @param node 传入的结点(当做二叉排序树的根结点)
* @return 返回的 以node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
*/
public int delRightTreeMin(Node node) {
Node target = node;
//循环的查找左子节点，就会找到最小值
while(target.left != null) {
target = target.left;
}
//这时 target就指向了最小结点
//删除最小结点
delNode(target.value);
return target.value;
}
二叉查找树的查找性能
- 二叉排序树的查找性能取决于二叉排序树的形态，在O(log2n)和O(n)之间。
- 在最坏情况下，二叉查找树是通过把有序表的n 个结点依次插入而生成的，此时所得到的二叉查找树退化为一株高度为n 的单支树，它的平均查找长度和单链表上的顺序查找相同，(n+1)/2。
- 在最好情况下，二叉查找树的形态比较均匀，最终得到一株形态与折半查找的判定树相似，此时的平均查找长度为log2 n。
- 二叉查找树的平均高度为O(log2 n)。因此平均情况下，三种操作的平均时间复杂性为O(log2 n)
- 就平均性能而言，二叉查找树上的查找与二分查找差不多。
- 就维护表的有序性而言，二叉查找树更有效。
完整代码
public class BinarySortTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {
7, 3, 10, 12, 5, 1, 9, 2};
BinarySortTree binarySortTree = new BinarySortTree();
//循环的添加结点到二叉排序树
for(int i = 0; i< arr.length; i++) {
binarySortTree.add(new Node(arr[i]));
}
//中序遍历二叉排序树
System.out.println("中序遍历二叉排序树~");
binarySortTree.infixOrder(); // 1, 3, 5, 7, 9, 10, 12
//测试一下删除叶子结点
binarySortTree.delNode(12);
binarySortTree.delNode(5);
binarySortTree.delNode(10);
binarySortTree.delNode(2);
binarySortTree.delNode(3);
binarySortTree.delNode(9);
binarySortTree.delNode(1);
binarySortTree.delNode(7);
System.out.println("root=" + binarySortTree.getRoot());
System.out.println("删除结点后");
binarySortTree.infixOrder();
}
}
//创建二叉排序树
class BinarySortTree {
private Node root;
public Node getRoot() {
return root; }
//添加结点的方法
public void add(Node node) {
if(root == null) {
root = node;//如果root为空则直接让root指向node
} else {
root.add(node);
}
}
//中序遍历
public void infixOrder() {
if(root != null) {
root.infixOrder();
} else {
System.out.println("二叉排序树为空，不能遍历");
}
}
//查找要删除的结点
public Node search(int value) {
if(root == null) {
return null;
} else {
return root.search(value);
}
}
//查找父结点
public Node searchParent(int value) {
if(root == null) {
return null;
} else {
return root.searchParent(value);
}
}
//编写方法:
//1. 返回的 以node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
//2. 删除node 为根结点的二叉排序树的最小结点
/**
*
* @param node 传入的结点(当做二叉排序树的根结点)
* @return 返回的 以node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
*/
public int delRightTreeMin(Node node) {
Node target = node;
//循环的查找左子节点，就会找到最小值
while(target.left != null) {
target = target.left;
}
//这时 target就指向了最小结点
//删除最小结点
delNode(target.value);
return target.value;
}
//删除结点
public void delNode(int value) {
if(root == null) {
return;
}else {
//1.需求先去找到要删除的结点 targetNode
Node targetNode = search(value);
//如果没有找到要删除的结点
if(targetNode == null) {
return;
}
//如果我们发现当前这颗二叉排序树只有一个结点
if(root.left == null && root.right == null) {
root = null;
return;
}
//去找到targetNode的父结点
Node parent = searchParent(value);
//如果要删除的结点是叶子结点
if(targetNode.left == null && targetNode.right == null) {
//判断targetNode 是父结点的左子结点，还是右子结点
if(parent.left != null && parent.left.value == value) {
//是左子结点
parent.left = null;
} else if (parent.right != null && parent.right.value == value) {
//是由子结点
parent.right = null;
}
} else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null) {
//删除有两颗子树的节点
int minVal = delRightTreeMin(targetNode.right);
targetNode.value = minVal;
} else {
// 删除只有一颗子树的结点
//如果要删除的结点有左子结点
if(targetNode.left != null) {
if(parent != null) {
//如果 targetNode 是 parent 的左子结点
if(parent.left.value == value) {
parent.left = targetNode.left;
} else {
// targetNode 是 parent 的右子结点
parent.right = targetNode.left;
}
} else {
root = targetNode.left;
}
} else {
//如果要删除的结点有右子结点
if(parent != null) {
//如果 targetNode 是 parent 的左子结点
if(parent.left.value == value) {
parent.left = targetNode.right;
} else {
//如果 targetNode 是 parent 的右子结点
parent.right = targetNode.right;
}
} else {
root = targetNode.right;
}
}
}
}
}
}
//创建Node结点
class Node {
int value;
Node left;
Node right;
public Node(int value) {
this.value = value; }
@Override
public String toString() {
return "Node [value=" + value + "]"; }
//查找要删除的结点
/**
*
* @param value 希望删除的结点的值
* @return 如果找到返回该结点，否则返回null
*/
public Node search(int value) {
if(value == this.value) {
//找到就是该结点
return this;
} else if(value < this.value) {
//如果查找的值小于当前结点，向左子树递归查找
//如果左子结点为空
if(this.left == null) {
return null;
}
return this.left.search(value);
} else {
//如果查找的值不小于当前结点，向右子树递归查找
if(this.right == null) {
return null;
}
return this.right.search(value);
}
}
//查找要删除结点的父结点
/**
*
* @param value 要找到的结点的值
* @return 返回的是要删除的结点的父结点，如果没有就返回null
*/
public Node searchParent(int value) {
//如果当前结点就是要删除的结点的父结点，就返回
if((this.left != null && this.left.value == value) ||
(this.right != null && this.right.value == value)) {
return this;
} else {
//如果查找的值小于当前结点的值, 并且当前结点的左子结点不为空
if(value < this.value && this.left != null) {
return this.left.searchParent(value); //向左子树递归查找
} else if (value >= this.value && this.right != null) {
return this.right.searchParent(value); //向右子树递归查找
} else {
return null; // 没有找到父结点
}
}
}
//添加结点的方法
//递归的形式添加结点，注意需要满足二叉排序树的要求
public void add(Node node) {
if(node == null) {
return;
}
//判断传入的结点的值，和当前子树的根结点的值关系
if(node.value < this.value) {
//如果当前结点左子结点为null
if(this.left == null) {
this.left = node;
} else {
//递归的向左子树添加
this.left.add(node);
}
} else {
//添加的结点的值大于 当前结点的值
if(this.right == null) {
this.right = node;
} else {
//递归的向右子树添加
this.right.add(node);
}
}
}
//中序遍历
public void infixOrder() {
if(this.left != null) {
this.left.infixOrder();
}
System.out.println(this);
if(this.right != null) {
this.right.infixOrder();
}
}
}