全通滤波器

全通滤波器

定义

幅频响应在任意频率 $\omega$处为常数的稳定系统
$|H_{ap}(e^{j\omega})|= c$

在本文中我们仅考虑实系数滤波器

判据

• 幅频响应在任意频率 $\omega$均处为常数

  $|H_{ap}(e^{j\omega})|= c$

• 零点与极点以单位圆为镜像对称

  关于这一判据做如下两点说明:

  首先为什么零极点要共轭出现?

  因为只有零极点共轭,全通滤波器的系数才是实数,接下来解释一下为什么零极点共轭时,该系统函数所对应的冲激响应系数是全实数

  我们知道,从S域到Z域的变换就是在时域从连续到离散的抽样.所以如果S域中系统函数所对应的冲激响应的系数是全实数,那么离散后,系数不可能突然变为虚数,也一定是全实数的.

  首先考虑全极点系统,为了便于讨论,我们可以将任意以系统函数拆分为一阶或二阶子系统的级联,通式如下
  $H(s)=\prod \frac 1{s^2+a_i s+b_i}$
  对于任意一阶系统
  $H(s)=\frac 1{s+n+mj}$
  不难得出其冲激响应为 $h(t)=e^{-(n+mj)t}$所以当且仅当 $m=0$时,冲激响应为实数,此时极点为 $s=-n$,满足共轭出现的条件

  对于二阶系统来说
  $H(s)=\frac 1{s^2+ns+m}$
  其中n,m为任意数,即可为实数,也可以是虚数.然后将系统写为如下形式 $\frac 1{(s+x)^2+y}$,对应的冲激响应就是 $e^{-xt}\sin yt$,因为要求是实数响应,所以此时的x,y均要求也是实数.现在该二阶子系统所对应的极点就是 $s=-n\pm \sqrt{m}j$,满足共轭条件

  综上,极点满足共轭出现的条件时,冲激响应为实数

  为什么零极点关于单位圆镜像对称

  这一点是全通滤波器系统函数所决定的，所以才可以作为全通滤波器的判据之一.

  全通滤波器可以拆解为多个子系统的级联
  $H_{ap}(z)=K\prod_{i=1}^N \frac{z^{-1}-a^*_i}{1-a_iz^{-1}}$
  若当 $z=a$时为极点,不难得出 $z=\frac 1{a^*}$为系统零点.

  结合上文给出的极点共轭出现的条件:极点共轭,而每一个极点在单位圆外对应着一个零点,因此零点也是共轭出现的.

  综上,对于全通来说,零极点共轭出现,而且关于圆周对称

应用

• 将不稳定系统转换为稳定系统

  反射极点,零极点抵消

  若原滤波器的一对极点在单位圆外 $z=\frac 1r e^{\pm j\theta}$,由该极点构成的系统函数
  $H(z)=\frac 1{(r^{-1}-re^{j\theta})(z^{-1}-re^{-j\theta})}$
  看级联全通滤波器
  $H_{ap}(z)=\frac{z^{-1}-re^{j\theta}}{1-r^{-j\theta}z^{-1}}$
  抵消单位圆外的极点

• 相位均衡器

  全通滤波器级联后不改变幅频响应,因此可以用于设计相位补偿函数,使得级联后的系统相位响应为线性相位