[概率与期望] OSU

题目描述

osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。

我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子:

一共有n次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应1，失败对应0，n次操作对应为1个长度为n的01串。在这个串中连续的 X个1可以贡献X³ 的分数，这x个1不能被其他连续的1所包含（也就是极长的一串1，具体见样例解释）

现在给出n，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留1位小数。

输入格式

第一行有一个正整数n,表示操作个数。

接下去n行每行有一个[0,1]之间的实数，表示每个操作的成功率。

输出格式

只有一个实数，表示答案。答案四舍五入后保留1位小数。

样例

样例输入

3 
0.5 
0.5 
0.5 

样例输出

6.0 

数据范围与提示

000分数为0，001分数为1，010分数为1，100分数为1，101分数为2，110分数为8，011分数为8，111分数为27，总和为48，期望为48/8=6.0

N<=100000

分析

 首先看一下问题，也就是在一串字符中有0 1子串，每多一个连续的1，假如说之前的长度为 $ X $，那么如果长度加一的话，那么权值应该变成  $ (X+1)^3 $,所以就可以直接看出来，长度加一的话，那么我们把这个乘方展开，就是$ X^3+3X^2+3X+1 $,所以期望就加了 $ 3X^2+3X+1 $ ,那么我们就可以用一个状态转移方程来记录权值。

 

下面再来分析一下平方和一次方的记录方式

我们用两个数组来代替：

$ f1[i] $ 数组代替前i结尾连续为1的长度的期望

$ f2[i] $代替前i结尾连续为1的长度平方的期望，那么这就把上边所说的期望增加量可以一一表示出来了;

所以可以先列出这两个的状态转移：

先看到$ f1[i] $,因为每一位的状态都有两种情况，一个是$ 0 $ ，一个是$ 1 $  ，$ 0 $的时候期望为$ 0\times(1-pi) $($ p[i] $就是每个情况的概率，上边的输入里边有）