前言
所谓旋转排序数组，就是指按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转（例如，数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2]）。而LeetCode上与此相关的的题共有三道，下面就具体来分析一下这三题。
搜索旋转排序数组（LeetCode 33题）
搜索一个给定的目标值，如果数组中存在这个目标值，则返回它的索引，否则返回 -1 。你可以假设数组中不存在重复的元素。
你的算法时间复杂度必须是 O(log n) 级别。
示例 1:
输入: nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0
输出: 4示例 2:
输入: nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3
输出: -1来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/search-in-rotated-sorted-array
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分析
从题目要求时间复杂度为O(logn)，则可知最终必须使用二分法。然后再具体分析旋转数组的特征，假设在下标i处进行了旋转，旋转后的序列为i ~ n-1, 0 ~ i-1，由于数组本身是升序排列的，所以仔细分析mid中间结点的位置，便可以找到这题的突破口，假设mid处于i ~ n-1区间内，那么i ~ mid段就是有序的，相对地，mid ~ i-1就是无序的。当mid结点处于0 ~ i-1区间时，易知mid ~ i-1段是有序的，相对地，i ~ mid就是无序的。可以发现，无论mid在哪个位置，总能得到一个有序段，最终我们也就是利用有序段，来每次排除一半的数据。
为了分析有序段，再看题目，因为数组为升序，因此我们每次只需要和最右边的结点进行比较即可。若nums[mid] < nums[right]，则mid ~ right段为有序，若nums[mid] > nums[right]，由于数组整体为升序，原数组中左边的数据一定是小于右边的，因此在mid ~ right存在一个旋转点，即该段是无序的，再由上文分析可知，无论mid处于哪一段，总存在有序区间，因此此时i ~ mid段是有序的。
当我们得到有序段后，我们便可以根据target是否存在于有序段来取舍一半的数据，最终的代码如下：
public int search(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1;
while (left <= right) {
int mid = (left + right) >>> 1;
if (nums[mid] == target) {
return mid;
}
if (nums[mid] > nums[right]) {
// target是否存在于left ~ mid有序段
if (nums[left] <= target && nums[mid] > target) {
right = mid - 1;
} else {
left = mid + 1;
}
} else {
// target是否存在于mid ~ right有序段
if (nums[right] >= target && nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else {
right = mid - 1;
}
}
}
return -1;
}
复杂度分析
- 时间复杂度：每次取舍一半的数据，为二分查找，故为O(logn)；
- 空间复杂度：未使用额外空间，为O(1)。
寻找旋转排序数组中的最小值（LeetCode153题）
分析
本题的条件和上一题相同，取别是上题要求找到一个目标值，而本题则要求找到最小值。再次回想之前的分析，假设在下标i处进行了旋转，旋转后的序列为i ~ n-1, 0 ~ i-1，对于mid结点而言，由之前的分析可知，可以由mid结点与最右边的结点的值的大小关系，判断出有序区间处于mid之前还是之后。再次分析有序区间，假设i ~ mid段为有序，那么数组一定是在mid ~ i-1段的某个位置进行了旋转，相应地，最小值也存在于这个区间，即存在于无序段。当mid ~ i-1为有序时，则根据上文的分析，最小值也一定存在于存在旋转结点的区间，即无序段。
经过上文的分析，可知最小值（也就是旋转结点）一定存在于无序段，因此代码也很容易得出，如下：
public int findMin(int[] nums) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1;
while (left < right) {
int mid = (left + right) >>> 1;
// mid > right, 则mid必定不为最小值,
// 结合left ~ mid为有序段，故可直接舍弃left ~ mid段
if (nums[mid] > nums[right]) {
left = mid + 1;
} else {
// mid < right, mid处可能为最小值,
// 因此对于有序段mid ~ right, 只能舍弃mid+1 ~ right
right = mid;
}
}
return nums[left];
}
复杂度分析
- 时间复杂度：O(logn)；
- 空间复杂度：O(1)。
存在重复值的数组
以上两题均是不考虑数组有重复元素的情况，而LeetCode81题和154题，则正是以上两题存在重复元素的改变。当存在重复元素时，我们在判断mid与right结点的大小也将多了一种可能相等的情况，那么怎么考虑相等呢？其实我们只要每次在相等情况判断时，都只将right--即可，因为不管是寻找目标值target，还是寻找数组最小值，因为mid与right相等，所以每次去掉最右结点，再对剩下部分之前的判断，即可得到最终的结果。但是，在有重复值的情况下，算法的时间复杂度也有了改变，在最好的情况下（数组中不存在重复元素），仍未O(logn)。但在最坏的情况下（数组元素全部相等），由于每次只能将数组大小缩减1，因此将退化为O(n)。