题目：柱状图中最大的矩形
给定 n 个非负整数，用来表示柱状图中各个柱子的高度。每个柱子彼此相邻，且宽度为 1 。求在该柱状图中，能够勾勒出来的矩形的最大面积。
以上是柱状图的示例，其中每个柱子的宽度为 1，给定的高度为 [2,1,5,6,2,3]。
图中阴影部分为所能勾勒出的最大矩形面积，其面积为 10 个单位。
示例:
输入: [2,1,5,6,2,3]
输出: 10
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/largest-rectangle-in-histogram
分析
拿到这道题，先不要想其他的方法，看看暴力解法能不能算出来。我们会发现暴力算法有两个方案：一个是变化矩形的范围，然后求出范围中的最低柱子，就可以得到面积了。第二个是每个柱子分别向前后扩散，遇到比自己低的就停下来，那么这个范围的宽度乘上自身的高度，就是该位置的柱子可以达到的最大面积。（第二种我当时没想出来==）
然后我们从暴力算法中，看看有没有可以进行优化的地方。首先两种思路，第一种的话因为已经固定了两层嵌套循环，要去优化的话显然有点困难。第二种的思路只有一个外层循环，所以优化的空间可能会比较大，我们从第二种入手。
首先我们知道，第二种思路最费时间的点就是每次都要前后去寻找，那我们这里可以去想一下怎么把前面遍历的情况记录下来，节省时间。所以难点就是在确定边界。
重要特点：这里我们分析边界的特点。如果i < j ,且heights[i] > heights[j] ,这样的话，对于任何 j < k,第K个元素的左边界不可能是i。因为被 j 挡住了。这个应该很好理解吧。可以的话我们继续。
首先我们进行遍历数组，看什么时候可以确定边界。假设现在有[2,4,1,5,7,3]。（大家可以自行画图体验，我这里就不画图了，懒癌犯了）
- 遍历到2的时候，已经确定好左边界，但是还没有确定右边界；
- 遍历4，同二。
- 遍历1，这个时候我们会发现，第二个元素4，已经确定好边界了，可以得出面积4.
- 然后可以发现第一个元素2，也得到他的边界了。
- 然后我们会发现，位置1 比前面的任何元素都要小，那么后面的元素，不可能以2,4为左边界。原因看上面。
- 然后同理继续遍历5，和7.然后遍历到3的时候，元素 7 也确定边界了。元素5也确定边界了。
- 后面已经没有元素了，所以3也可以确定边界。最后再确定1的边界。
观察上面的流程，有没有一丝丝什么的味道？栈的味道。遍历可以看做是入栈，确定边界的时候，可以看成出栈。先进后出。那么可不可以用一个辅助栈来完成这个流程呢？答案是肯定的。
思路和上面一模一样，重点是入栈和出栈。从上面的重要特点可以知道，当遇到比较小的元素的时候，那么前面的元素就可以确定边界了，进行出栈操作。所以栈底，永远是前面的最小元素。
- 当遍历到的元素比栈顶要小的时候，那么就可以对栈顶元素进行出栈
- 这个矩形的高度是栈顶元素的高度，宽度是当前遍历到的元素的 下标 i - 栈顶元素的下一个元素的下标 j + 1.为什么是这样？大家可以画个图模拟一下，就留给大家思考了。
- 遍历完成后，再对栈里的元素进行出栈操作。
- 过程中记录最大的矩形面积。
这里建议大家画图去模拟这个过程，会很好去理解，特别是关于矩形的边界的确定，如果没有画图，很容易就漏掉一些细节的考虑。
代码实现
public static int largestRectangleArea(int[] heights) {
if (heights.length==0) return 0;
Stack<Integer> stack = new Stack<>();
stack.push(0);
int maxArea = 0;
for (int i=1;i<heights.length;i++){
if (heights[i]>=heights[stack.peek()]) stack.push(i);
else {
while (!stack.isEmpty() && heights[i]<heights[stack.peek()] ){
int index = stack.pop();
int area;
if (stack.isEmpty()){
area = i*heights[index];
}else{
area = (i-stack.peek()-1)*heights[index];
}
maxArea = Math.max(maxArea, area);
}
stack.push(i);
}
}
while (!stack.isEmpty()){
int index = stack.pop();
int area;
if (stack.isEmpty()){
area = heights.length*heights[index];
}else{
area = (heights.length-stack.peek()-1)*heights[index];
}
maxArea = Math.max(area,maxArea);
}
return maxArea;
}
复杂度分析
假设数组的长度为n
- 时间复杂度：首先需要遍历一次数组，每个元素至多进行一次出栈和入栈操作。
时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：这里所需要的空间是栈。最多是数组的长度。
空间复杂度：O(n)