离散信号（一） | 信号的采样和恢复+时域、频域采样定理

离线信号是指在时间上是离散的，即只在某些不连续的规定时刻给出信号的瞬时值，而在其它时刻无意义的信号。连续时间信号的采样是离散信号产生的方法之一，而计算机技术的发展以及数字技术的广泛应用是离散信号分析、处理理论和方法迅速发展的动力。

离散信号的时域描述和分析

1. 信号的采样和恢复

理想化的采样过程是一个将连续信号进行脉冲调制的过程，即 $x_s(t)$表示为连续信号 $x(t)$与周期性冲激串 $\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_n)$的乘积：
$x_s(t)=x(t)\delta_T(t)=x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)=\sum_{-\infty}^{\infty}x(nT_s)\delta(t-nT_s)$
$x_s(t)$是经过采样处理后时间上离散化而幅值上仍然连续变化的信号，必须经过幅值上量化、编码处理等离散取值后才能成为数字信号。

一个连续信号离散化后，有两个问题需要讨论：（1）采样得到的信号 $x_s(t)$在频域上有什么特性，它与原连续信号 $x(t)$的频域特性有什么联系？（2）连续信号采样后，它是否保留了原信号的全部信息，或者说，从采样的信号 $x_s(t)$能否无失真地恢复原连续信号 $x(t)$?

设连续信号 $x(t)$的傅里叶变换为 $X(w)$，采样后离散信号 $x_s(t)$的傅里叶变换为 $X_s(w)$，已知周期性冲激串 $\delta_T(t)$的傅里叶变换为 $P(w)=w_s\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(w-nw_s)$，由傅里叶变换的频域卷积定理，有
$X_s(w)=\frac{1}{2\pi}X(w)*P(w)$
将 $P(w)$代入上式，并按卷积运算的性质化简后得到抽样信号 $x_s(t)$的傅里叶变换为
$X_s(w)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(w-nw_s) \tag{1}$
式（1）表明，一个连续信号经理想采样后频谱发生了两个变化：

1）频谱发生了周期延拓，即将原连续信号的频谱 $X(w)$分别延拓到以 $\pm w_s,\pm 2w_s,\dots$为中心的频谱，其中 $w_s$为采样角频率。

2）频谱的幅度乘上了一个 $1/T_s$因子，其中 $T_s$为采样周期。

2. 时域采样定理

对于频谱函数只在有限区间 $(-w_m,w_m)$为有限值的频谱受限信号 $x(t)$，为了将它的抽样信号 $x_s(t)$恢复为原连续信号，只要对抽样信号施以截止频率为 $w\geq w_m$的理想低通滤波，这时在频域上得到与 $x(t)$的频谱 $X(w)$完全一样的频谱（幅度的变化很容易实现）。对应地，在时域上也就完全恢复了原连续信号 $x(t)$。从图中可以看出，上述连续信号恢复过程是在 $w_s\geq w_m$的前提下实现的，也即采样频率至少为原连续信号所含最高频率成分的2倍时实现的。这时，就能够无失真地从抽样信号中恢复原连续信号，或者说，采样过程完全保留了原信号的全部信息。

当 $w_s<2w_m$时，在频域就会出现频谱混叠现象。施以理想低通滤波后不能得到与 $X(w)$完全一样的频谱。可以想象，在时域也就不能无失真地恢复原连续信号 $x(t)$。

由此，得出关于采样频率如何取的结论，这就是著名的时域采样定理（香农定理）：

对于频谱受限的信号 $x(t)$，如果其最高频率分量为 $w_m$，为了保留原信号的全部信息，或能无失真地恢复原信号，在通过采样得到离散信号时，其采样频率应满足 $w_s\geq 2w_m$。通常把最低允许的采样频率 $w_s=2w_m$称为奈奎斯特（Nyquist）频率。

为了从抽样信号 $x_s(t)$中恢复原信号 $x(t)$，可将抽样信号的频谱 $X_s(w)$乘上幅度为 $T_s$的矩形窗信号
$G(w)= \begin{cases} T_s & |w|\leq w_s/2 \\ 0 & |w|>w_s/2 \end{cases}$
它将原信号的频谱 $X(w)$从 $X_s(w)$中完整地提取出来，即
$X(w)=X_s(w)G(w)$
根据傅里叶时域卷积性质，有
$x(t)=x_s(t)*g(t)$
而从表2-2可知
$g(t)=Sa(\frac{w_s}{2}t)$
所以求得
$x(t)=\sum_{n-\infty}^{\infty}x(nT_s)\delta(t-nT_s)*Sa(\frac{w_s}{2}t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)Sa(\frac{w_s}{2}(t-nT_s))$
如果正好取 $w_m=\frac{1}{2}w_s$，则有
$x(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}x(nT_s)Sa[w_m(t-nT_s)]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)\frac{sinw_m(t-nT_s)}{w_m(t-nT_s)} \tag{2}$
上式说明，如果知道连续时间信号的最高角频率 $w_m$，则在采样频率 $w_s\geq 2w_m$的条件下，把各抽样样本值 $x(nT_s)$代入式（2），就能无失真地求得原信号 $x(t)$。原信号的恢复过程可用下图表示。

由于 $x(nT)Sa[w_m(t-nT_s)]$是一个以nT为中心呈偶对称的衰减正弦函数，除中心点为峰值外，还具有等间隔的过零点，可以求得，该间隔正好是采样间隔 $T_s$，因此在某一采样时刻（例如 $t=3T_s$），除了取峰值为1的 $Sa[w_m(t-nT)]$（例如n=3）外，其它各 $Sa[w_m(t-nT)]$（例如 $n\neq 3$）均为零，所以有 $x(t)=x(nT_s)$（例如n=3），即每个采样时刻能给出准确的 $x(t)$值，而非采样时刻，式（2）中的各项均不为零，样本点之间任意时刻的 $x(t)$由无限项的和决定，所以通常把式（2）称为恢复连续时间信号的内插公式。

时域采样定理表明，为了保留原连续信号某一频率分量的全部信息，至少对该频率分量一个周期采样两次。由此可以理解为对于快变信号要提高采样频率，但是并不能认为采样频率越高越好，采样频率过大，一方面会增加计算机内存的占用量，另一方面还会造成采样过程不稳定。

对于不是带限的信号，或者频谱在高频段衰减较慢的信号，可以根据实际的情况采用抗混叠滤波器来解决。即在采样前，用一截止频率为 $w_c$的低通滤波器对信号 $x(t)$进行抗混叠滤波，将不需要的或不重要的高频成分去除，然后再进行采样和数据处理。

3. 频域采样定理

与时域采样定理相对应，对于一个具有连续频谱的信号，如果在频域进行采样，也存在一个是否能准确地恢复原信号连续频谱的问题。先考虑原时域信号 $x(t)$的频谱为 $X(w)$，即
$x(t) \overset{F}{\leftrightarrow} X(w)$
对 $X(w)$在频域的采样，同样可视为一个将 $X(w)$进行频域冲激串调制的过程，即
$X_p(w)=X(w)P(w) \tag{1}$
其中 $p(w)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(w-kw_0)$，是采样间隔为 $w_0=\frac{2\pi}{T_0}$的频域单位冲激串，它所对应的时域信号为
$p(t)=\frac{1}{w_0}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT_0)$
由傅里叶变换的时域卷积性质，式（1）对应的时域形式为
$x_p(t)=x(t)*\frac{1}{w_0}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT_0)=\frac{1}{w_0}\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(t-kT_0) \tag{2}$
上式的推导用到任意函数与冲激函数卷积的式子： $x(t)*\delta(t-t_0)=x(t-t_0)$。式（2）表明当信号频谱 $X(w)$以 $w_0$的采样间隔进行采样，它对应的时域信号 $x_p(t)$是以 $T_0$为周期对原信号 $x(t)$进行周期延拓，当然信号的幅度要乘上 $\frac{1}{w_0}$的因子，如下图所示。这一结论与时域信号的采样完全形成对偶关系。

$x(t)= \begin{cases} x(t) & |t|\leq t_m \\ 0 & |t| > t_m \end{cases}$
只有当 $T_0\geq 2t_m$或 $w_0 \leq \frac{2\pi}{t_m}$时， $x_p(t)$不会发生波形混叠，有可能从 $x_p(t)$中不失真地截取出原信号 $x(t)$，相当于在频域从采样的 $X_p(w)$中准确地恢复原信号的连续频谱 $X(w)$。因此，可以归结出频域采样定理：

对于一个长度为 $2t_m$的时限信号，为了能够从频域样本集合完全恢复原信号的频谱，其频域的采样间隔必须满足 $w_0\leq \frac{\pi}{t_m}$。

与连续时间信号的恢复类似，为了恢复原信号 $x(t)$的连续频谱 $X(w)$，可以将其周期延拓的信号 $x_p(t)$乘上时域窗函数 $g(t)$
$g(t)= \begin{cases} w_0 & |t| \leq \frac{T_0}{2} \\ 0 & |t|>\frac{T_0}{2} \end{cases}$
它将原信号 $x(t)$从 $x_p(t)$中完整地提取出来，即
$x(t)=x_p(t)g(t)$
根据傅里叶频域卷积性质，有
$X(w)=\frac{1}{2\pi}X_p(w)* G(w)$
式中， $X_p(w)=X(w)\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(w-kw_0)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(kw_0)\delta(w-kw_0)$。又因为
$G(w)=2\pi Sa(\frac{wT_0}{2})$
所以得
$X(w)=\frac{1}{2\pi}[\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(kw_0)\delta(w-kw_0)]*[2\pi Sa(\frac{wT_0}{2})] \\ =\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(kw_0)Sa[\frac{T_0}{2}(w-kw_0)]$
这就是频域内插公式，如果正好取 $t_m=\frac{T_0}{2}$，则有
$X(w)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(kw_0)Sa[t_m(w-kw_0)]=\sum_{-\infty}^{\infty}X(kw_0)\frac{sint_m(w-kw_0)}{t_m(w-kw_0)}$
频域内插公式表明：在频域中，每个采样样本能给出准确的 $X(w)$值，而非样本值的 $X(w)$由无限项之和决定的。

从时域采样及其内插恢复和频域采样及其内插恢复，我们可得出时域和频域的一个重要对应关系：频域的带限信号在时域是非时限的，时域的时限信号在频域是非带限的。