PAT 1010 Radix (25分)

题意：现给定两个正整数 $N_1,\ N_2$ ，并给出其中一个数的进制，请你求出另一个数在什么进制下，能使得两数相等。

技巧：如果 tag 等于 2，就把两数交换，可以减少一半的对称代码。

交换之后， $N_1$ 是已知进制的， $N_2$ 是未知进制的。但是题目中没有指明输入的 radix 的数据范围，所以 $N_1$ 也可能是爆 long long 的，为了使题目能够顺利做下去，这里默认 $N_1$ 最大为 $zzzzzzzzzz)_{36}$ ，即 $N_1$ 的十进制数最大为 $36^{10}$ ，故用 long long 即可。

对于未知进制的 $N_2$ ，它的进制可能会非常大，最大进制不仅仅是 $36$ 这么简单。

如果暴力枚举 $N_2$ 的进制，会超时。

我们知道，进制越大， $N_2$ 所代表的十进制数就越大，利用这个单调性，我们可以二分枚举出 $N_2$ 的进制。二分的左边界 $l$ 等于 $N_2$ 中所有字符的最大值加 $1$ ，二分的右边界等于 $N_1$ 和 36 两者中的最大值。

AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;

char a[15], b[15];
int tag, radix;

int get(char x)
{
    
    
    if(x >= '0' && x <= '9')  return x - '0';
    else    return x - 'a' + 10;
}

ll calc(ll r)
{
    
    
    ll res = 0;
    for(int i = 0; b[i]; i++)
    {
    
    
        if((double)res * r + get(b[i]) > 1e16) return 1e16;
        res = res * r + get(b[i]);
    }
    return res;
}

int main()
{
    
    
    scanf("%s%s%d%d", a, b, &tag, &radix);
    
    if(tag == 2)    swap(a, b); // 交换，以减少对称的代码量
    
    ll n1 = 0;
    for(int i = 0; a[i]; i++)   n1 = n1 * radix + get(a[i]);
    
    int maxb = -1;
    for(int i = 0; b[i]; i++)   maxb = max(maxb, get(b[i]));
    
    ll l = maxb + 1, r = max(n1, 36ll);
    
    while(l < r)                // 找到第一个大于等于n1所对应的进制
    {
    
    
        ll mid = l + r >> 1;
        if(calc(mid) >= n1) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }

    if(calc(r) != n1)   puts("Impossible");
    else    printf("%lld\n", r);
    
    return 0;
}

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