全排列算法思路解析

原文地址：https://blog.csdn.net/summerxiachen/article/details/60579623

1.全排列的定义和公式：

从n个数中选取m（m<=n）个数按照一定的顺序进行排成一个列，叫作从n个元素中取m个元素的一个排列。由排列的定义，显然不同的顺序是一个不同的排列。从n个元素中取m个元素的所有排列的个数，称为排列数。从n个元素取出n个元素的一个排列，称为一个全排列。全排列的排列数公式为n!，通过乘法原理可以得到。

2.时间复杂度：

n个数（字符、对象）的全排列一共有n!种，所以全排列算法至少时间O(n!)的。如果要对全排列进行输出，那么输出的时间要O(n∗n!)，因为每一个排列都有n个数据。所以实际上，全排列算法对大型的数据是无法处理的，而一般情况下也不会要求我们去遍历一个大型数据的全排列。

3.列出全排列的初始思想：

解决一个算法问题，我比较习惯于从基本的想法做起，我们先回顾一下我们自己是如何写一组数的全排列的：1，3，5，9（为了方便，下面我都用数进行全排列而不是字符）。
【1，3，5，9】（第一个）
首先保持第一个不变，对【3，5，9】进行全排列。
同样地，我们先保持3不变，对【5，9】进行全排列。
保持5不变，对9对进行全排列，由于9只有一个，它的排列只有一种：9。
故排列为【1，3，5，9】
接下来5不能以5打头了，5，9相互交换，得到
【1，3，9，5】
此时5，9的情况都写完了，不能以3打头了，得到

1，5，3，9
1，5，9，3
1，9，3，5
1，9，5，3

这样，我们就得到了1开头的所有排列，这是我们一般的排列数生成的过程。再接着是以3、5、9打头，得到全排列。

我们现在做这样的一个假设，假设给定的一些序列中第一位都不相同，那么就可以认定说这些序列一定不是同一个序列，这是一个很显然的问题。有了上面的这一条结论，我们就可以同理得到如果在第一位相同，可是第二位不同，那么在这些序列中也一定都不是同一个序列。
那么，这个问题可以这样来看。对

T=【x1,x2,x3,x4,x5,........xn−1,xn】

我们获得了在第一个位置上的所有情况之后(注：是所有的情况)，对每一种情况，抽去序列T中的第一个位置，那么对于剩下的序列可以看成是一个全新的序列

T1=【x2,x3,x4,x5,........xn−1,xn】

序列T1可以认为是与之前的序列毫无关联了。同样的，我们可以对这个T1进行与T相同的操作，直到T中只一个元素为止。这样我们就获得了所有的可能性。所以很显然，这是一个递归算法。

第一位的所有情况：无非是将x1与后面的所有数x2,x3,.......xn依次都交换一次

示意图如下：

这里写图片描述

4.全排列的非去重递归算法

算法思路：全排列可以看做固定前i位，对第i+1位之后的再进行全排列，比如固定第一位，后面跟着n-1位的全排列。那么解决n-1位元素的全排列就能解决n位元素的全排列了，这样的设计很容易就能用递归实现。

【附代码段：】

#include<iostream>
using namespace std;
int arr[5]={0,1,2,3,4};
void swap(int x,int y)//用于交换数组的两个数
{
    int temp=arr[x];
    arr[x]=arr[y];
    arr[y]=temp;
}
int resove(int n)//递归函数
{
        if(n==5)//当尝试对不存在的数组元素进行递归时，标明所有数已经排列完成，输出。
        {
            for(int i=0;i<5;i++)
            cout<<arr[i]; 
            cout<<endl;
            return 0;
        }
        for(int i=n;i<5;i++)//循环实现交换和之后的全排列  
        {//i是从n开始 i=n;swap(n,i)相当于固定当前位置，在进行下一位的排列。
            swap(n,i);
            resove(n+1);
            swap(n,i); 
        }

}
int main()
{
    resove(0);
}

排列模板

void permutation1(char* str,int sbegin,int send)    //全排列的非去重递归算法  
    {  
        if( sbegin == send) //当 sbegin = send时输出  
        {  
            for(int i = 0;i <= send; i++)   //输出一个排列  
                cout << str[i];  
            cout << endl;  
        }  
        else  
        {  
            for(int i = sbegin; i <= send; i++) //循环实现交换和sbegin + 1之后的全排列  
            {  
                swap(str[i],str[sbegin]);   //把第i个和第sbegin进行交换  
                permutation1(str,sbegin + 1,send);  
                swap(str[i],str[sbegin]);   //【注1】交换回来  
            }  
        }  
    }

【注1】swap(str[i],str[sbegin])//交换回来
我们来仔细推敲一下循环体里的代码，当我们对序列进行交换之后，就将交换后的序列除去第一个元素放入到下一次递归中去了，递归完成了再进行下一次循环。这是某一次循环程序所做的工作，这里有一个问题，那就是在进入到下一次循环时，序列是被改变了。可是，如果我们要假定第一位的所有可能性的话，那么，就必须是在建立在这些序列的初始状态一致的情况下,所以每次交换后，要还原，确保初始状态一致。