【递推】Ybt_错排问题

题目

求多少个 $n$ 个数的排列 $A$，满足对于任意的 $i(1<=i<=n)Ai\ne i$ 。
其中 $1<=n<=20$

输入

一个数，n。

输出

一个整数，表示答案。

---

解

设 $f[n]$ 为表示 $n$ 个数的合法排列个数。

考虑新增第 $n$ 位，这个位置肯定不能排 $n$ ，所以这个位置有 $(n-1)$ 种可能。
假设这个调换到第 $n$ 位的数为 $k$。
则，对于数字 $n$，有
1.放到第 $k$ 位，剩下 $(n-2)$ 种数错排。
2.不放的第 $k$ 位，剩下 $(n-1)$ 种数字错排。

于是便得到了递推式：
$f[n]=(n-1)(f[n-1]+f[n-2])(n>=3)$

---

代码

#include<cstdio>
long long n, f[25];
int main(){
    
    
	scanf("%lld", &n);
	f[1] = 0; f[2] = 1;
	for(int i = 3; i <= n; ++i)
	  f[i] = (i-1) * (f[i-1] + f[i-2]);
	printf("%lld", f[n]);
}