数量积，点积

在数学中，数量积（也称为标量积、点积、点乘）是接受在实数R上的两个矢量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

计算方法

两个矢量a = [a₁, a₂,…, a_n]和b = [b₁, b₂,…, b_n]的点积定义为:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$

这里的Σ指示总和符号。

例如，两个三维矢量[1, 3, −5]和[4, −2, −1]的点积是

$\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix} = (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) = 3$ 。

使用矩阵乘法并把（纵列）矢量当作n×1 矩阵，点积还可以写为:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^T \mathbf{b}$ ，

这里的a^T指示矩阵a的转置。

使用上面的例子，将一个1×3矩阵（就是行矢量）乘以一个3×1矢量得到结果(通过矩阵乘法的优势得到1×1矩阵也就是标量):

$\begin{bmatrix} 1&3&-5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4\\-2\\-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix}$ 。

几何解释

在欧几里得空间中，点积可以直观地定义为

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \;$ ,

这里 |x| 表示x的范数（长度），θ表示两个矢量之间的角度。

注意：点积的形式定义和这个定义不同；在形式定义中，a和b的夹角是通过上述等式定义的。

这样，两个互相垂直的矢量的点积总是零。若a和b都是单位矢量（长度为1），它们的点积就是它们的夹角的余弦。那么，给定两个矢量，它们之间的夹角可以通过下列公式得到：

$\cos{\theta} = \frac{\mathbf{a \cdot b}}{|\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}|}$

这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个矢量投影到第二个矢量上（这里，矢量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。