总览

数学模型：沟通现实世界与数学世界的桥梁。
数学建模:：建立数学模型的全过程。
算法：解决问题的手段和策略。

文章目录

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前言
一、初等模型
总结

前言

随着科技、教育、文化的不断发展，我们的生活水平不断提高，我们更注重高质量的生活。这样一来会面对许多高质量的问题。数学建模这门技术也越来越重要，他可以帮助我们

解决实际问题：数学建模可以将实际问题转化为数学问题，从而使用数学方法和工具对问题进行求解和分析，提供解决问题的思路和方法。

优化设计：数学建模可以在产品、系统和流程的设计中发挥作用，通过数学模型分析和优化设计参数，提高产品和系统的性能和效率。

预测和预防：数学建模可以帮助我们预测和预防一些重大事件的发生，如自然灾害、疫情等，从而采取有效的措施来应对。

促进发展：数学建模可以帮助我们探索新的领域和解决新的问题，推动科学技术的发展和创新。很多人都开启了学习数学建模，

本文就介绍了数学建模的基础内容。

一、初等模型

1.1 数学建模实例

从古至今。我们的生活、学习过程中处处在接触数学模型，这些模型有些已经是被前人建立了出来。
例如：

欧几里得几何为现实世界的空间形式构建了第一个数学模型。
牛顿利用微积分和开普勒第三定律建立了模拟现实中的万有引力定律。
19世纪将数学运用到电磁学，麦克斯韦建立的电子学方程组-由四个微积分构成的数学模型。
马克利用数学建模实现了CT扫描仪的工作原理的数学模型。
天气预报的预测可以建立相应的数学预测模型对天气进行预测任务。
航天、医疗、经济、制造业、农业等等都有许多数学建模的成功案例，来提高我们的生活质量。

1.2 数学建模方法与步骤

1. 模型

模型是为了某个特定的目的，将原型的一部分信息减缩、提炼而构成的原型替代物。

2. 形象模型

形象模型是根据某种物体的实际大小按一定比例制作的模型称为形象模型，形象模型又称为直观模型。比如:汽车，房子等等
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3. 符号模型

符号模型是用一些比较生动鲜明的符号来刻画某种事物的特征。比如:鸟瞰图，电路图，细胞分子图
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水箱中的舰艇模型，飞行中的飞机模型都是物理模型。物理模型呢主要是科研工作者为了一定的目的，根据呢相似原理构造的模型。它们不仅可以显示原型的外形或者相似特征，而且可以用来模拟实验，间接的研究模型的某些规律。比如水箱中的建筑模型用来模拟波浪冲击下舰艇的航行性能。飞行的飞机模型呢用来试验飞机在气流中的空气动力学特性.
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在后面的章节中，我们会介绍量纲分析方法，设计合适的物理模型来推断原型中的某些物理指标。

4. 那么如何定义数学模型？

数学模型是模型的一种，是对一个现实世界为了一个特定目的，根据其内在规律做出必要的简化假设。利用适当的数学工具得到的一个数学表示。

数学模型呢就是对于实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一线上的发展提供某种意义下的最优策略，获得较好策略。

5. 数学建模过程：

建立数学模型的全过程就叫做数学建模，数学建模的全过程包括:

将实际问题转化为数学问题;
数学问题求解;
数学解答检验，然后回答实际问题;

图示：
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上图就是把一个现实的信息表述翻译成一个数学模型。然后在数学的世界里面获得数学模型的解。然后用数学节回答实际问题，验证一下是否能合理的解释实际问题。左半部分呢代表了新的世界，右半部分呢代表了数学世界，数学建模的过程就是一个双向翻译的过程。第一次把实际问题翻译成数学问题，第二次把数学解答翻译回实际问题。数学建模的过程呢实现了实践到理论到实践的循环

6. 建模方法：

大体分为机理分析方法和测试分析方法两种。
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机理分析方法是对客观事物特征的认识，找出反映内部机理的树立规律。
测试分析方法是将对象看做是一个黑箱系统，也就是它的内部机理不清楚。
我们要通过测量数据进行统计分析，对于许多实际问题来讲，常常将两种方法结合起来进行建模，也就是用机理分析建立模型结构。建立模型的结构后有测试分析，来确定各模型中详细准确的各个参数。从而保证模型的健壮性。

7.小Demo

数学建模呢，应该不陌生，因为生活中学习过程中无处不在。例如：中学里边儿的应用题，比如航行问题。大学中微积分中导数定积分概念的引入都有数学建模的身影。下面我们来看建模的小案例。

第一个是微积分的小案例。
- 案例描述：
  港珠澳大桥有许多最，是世界上最长，施工难度最大，技术含量最高等等的跨海大桥。工程师需要建桥墩儿，建桥段儿就需要把水抽干。怎么抽水？估计抽水花多少钱，这呢是工程师要考虑的实际问题。那这个实际问题要找哪些量来刻画呢？
- 问题提炼：
  可以用做的功来量化，也就是需要估算抽干净为零水需要做多少工？咱们怎么进行计算呢？
- 问题思考：
  功等于水的重乘以水池的高度吗？在抽血的过程中呢，水面是逐渐下降的。如果将水自上向下分层，每层水杯抽出此外时所移动的距离是不同的，因此不能笼统的用水的重力乘以池的高度来计算。
  
  最终确定问题的解决用积分课程里边儿利用机理分析方法建模，也就是利用微元分析方法。能估算所做的工。
- 建模步骤：
  
  以上案例数学建模的步骤为
  1. 第一步建立模型需要生成的假设，我们假设是一个圆柱体，直径呢是10m，水深20m。
  2. 第二步变量说明直径2r=10。建立坐标系x轴方向向下x是积分变量，其积分区间是0~20。我们将水分成取微元x到x+dx这一小乘。
  3. 第三部建立模型
  4. 第四部数学求解最后还需要对结果进行验证。
一个生活小案例。
- 案例描述：
  椅子能在不平的地面上放稳吗？这个问题呢源于日常生活中的一个普通现实，把四只脚的椅子呢往不平的地面上一放，通常只有三只脚是着地的。我们只需要挪动几次，就可以让四只脚呢同时倒地。那我们下面要用数学语言来描述一下这个现实问题，并且用数学工具来证明。
- 问题提炼：
  我们只需要挪动几次，就可以让四只脚呢同时倒地。
- 问题思考：
  数学建模步骤:
  1. 首先，对模型进行假设。
    假设1：椅子四条腿是一样长的椅子，脚和地面是点接触的。那么四个角的连线呈正方形。
    假设2：地面的高度呢是连续变化的，也就是说我们这个地面是没有台阶的。
    假设3：地面是相对是平坦的，也就是说地面上不会出现深沟或者突分。保证椅子在任何位置呢，至少有三只脚是扫地的。
  2. 第二步，变量说明。
    椅子进行挪动，那我们就需要找一个变量来刻画椅子的位置。我们刚刚假设已知角的连线是个正方形，哪根据正方形的对称性中心为对称点。拿正方形绕着中心旋转，就代表了已经位置发生了改变。所以用变量旋转角度θ来刻画椅子的位置。
    
    我们要证明的结论是椅子的脚着地，怎么用数量来刻画呢？
```
脚着地呢就表示脚和地面的距离为零，那θ发生改变后，距离也会发生改变，所以呢距离是它的函数。
已知呢有四个角，那有四个距离，由于正方形的对称性呢，我们只要设两个距离就可以了，可以减少变量。
对角线A，C两角的距离之和，我们把它记作==f(θ)。Bd两角的距离之和呢，我们把它记作记==g(θ)。
```
  3. 第三步，建立模型。
    
    刚才假设地面是连续曲面。
    翻译成数学语言就表示函数f(θ)、g(θ)是连续函数，已知呢在任何位置至少三只脚着地。
    翻译成数学语言就是对任意的f(θ)乘以g(θ)是等于0的。
    椅子呢旋转90度，哪根据正方形的对称线，哪对角线就要互换。
    我们假设在初始位置下呢，也就是θ等于0的时候呢bd两点是着地的。所以呢g(0)=0,f(0)是大于0，
    然后旋转90度以后BD就变成了AC啦。所以呢f(π/2)是等于g(0)=0
    我们这样就把一个实际问题翻译成了一个数学问题。
    上图方框所示
  4. 第四步，数学求解。
    对我们的微积分工具，利用大家学过的微积分的借着定理。我们做一个简单的证明，由于要证明f(θ)×g(θ)=0。就相当于f(θ)-g(θ)有零点。让我们构造函数h(θ)=f(θ)-g(θ)。根据已知条件，我们可以得到h0>0。H2分之派小于0。