广义（通用）卡尔曼-布什（Kalman-Bucy）滤波器详细推导过程（全网独家）

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1. Kalman-Bucy滤波器及系统背景

Kalman-Bucy滤波器本质上是一种针对线性系统的滤波器，可以在系统中存在高斯白噪声时对系统的内禀信号进行滤波，从而得到相对纯净、相对接近内禀信号的测量信号。

设滤波器的输出信号（亦即测量信号）为$\mathbf{Y}(t)$，滤波器的输入信号（即系统的内禀信号，或称有用信号）为$\mathbf{X}(t)$。滤波器的作用，就是将系统中的状态量$\mathbf{X}(t)$在噪声影响下，借助测量值$\mathbf{Y}(t)$，正确估计出来系统中的内禀（有用）信号。

系统中的有用信号可以表示为
$$\dot{\mathbf{X}}(t)=\mathbf{A}(t)\mathbf{X}(t)+\mathbf{G}(t){\mathbf{N}}_1(t),\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{n\times n},\mathbf{G}\in {\mathbb{R}}^{n\times p}\text{\hspace{1em}(1)}$$其中，初始条件为$\mathbf{X}(t_0)={\mathbf{X}}^0$，${\mathbf{N}}_1(t)$为高斯白噪声，是系统在运行中所具有的噪声，具有如下期望值和方差：
M { N 1 ( t ) } = 0 ; R N 1 N 1 ( t , τ ) = M { N 1 ( t ) N 1 T ( t ) } = S 1 ( t ) δ ( t − τ ) M\left\{ \mathbf{N}_1(t) \right\} = 0; \quad \mathbf{R}_{\mathbf{N}_1 \mathbf{N}_1} (t, \tau) = M\left\{ \mathbf{N}_1(t) \mathbf{N}_1^{\rm T}(t) \right\} = \mathbf{S}_1 (t) \delta (t - \tau) M{ N1​(t)}=0;RN1​N1​​(t,τ)=M{ N1​(t)N1T​(t)}=S1​(t)δ(t−τ)其中${\mathbf{S}}_1(t)$为表征噪声信号强度的对称正定矩阵，这意味着${\mathbf{S}}_1^{\mathrm{T}}(t)={\mathbf{S}}_1(t)$。

另外，假设有用信号初值的期望已知：
$${\bar{\mathbf{X}}}^0=M\left\{{\mathbf{X}}^0\right\}=0$$方差已知：
$${\mathbf{D}}_{00}=M\left\{\left({\mathbf{X}}^0-{\bar{\mathbf{X}}}^0\right){\left({\mathbf{X}}^0-{\bar{\mathbf{X}}}^0\right)}^{\mathrm{T}}\right\}=0$$

再设系统的输出信号$\mathbf{Y}(t)$具有如下形式
$$\mathbf{Y}(t)=\mathbf{C}(t)\mathbf{X}(t)+{\mathbf{N}}_2(t),\mathbf{C}\in {\mathbb{R}}^{l\times n}\text{\hspace{1em}(2)}$$其中${\mathbf{N}}_2(t)$亦为高斯白噪声，是测量时的测量噪声：
M { N 2 ( t ) } = 0 ; R N 2 N 2 ( t , τ ) = M { N 2 ( t ) N 2 T ( t ) } = S 2 ( t ) δ ( t − τ ) M\left\{ \mathbf{N}_2(t) \right\} = 0; \quad \mathbf{R}_{\mathbf{N}_2 \mathbf{N}_2} (t, \tau) = M\left\{ \mathbf{N}_2(t) \mathbf{N}_2^{\rm T}(t) \right\} = \mathbf{S}_2 (t) \delta (t - \tau) M{ N2​(t)}=0;RN2​N2​​(t,τ)=M{ N2​(t)N2T​(t)}=S2​(t)δ(t−τ)设滤波器的滤波误差为
$${\mathbf{X}}_{\sigma }(t)=\mathbf{X}(t)-\hat{\mathbf{X}}(t)$$滤波器的设计应当满足如下条件，使得滤波器得到的状态估计量为无偏的，且估计误差的均方差$M\left\{\Vert {\mathbf{X}}_{\sigma }(t){\Vert }^2\right\}$最小。

2. 系统中相关关系整理

(1) 假设有用信号初值${\mathbf{X}}^0$与系统噪声${\mathbf{N}}_1(t)$、测量噪声${\mathbf{N}}_2(t)$之间无关：
$$M\left\{{\mathbf{X}}^0{\mathbf{N}}_1\right\}=0,M\left\{{\mathbf{X}}^0{\mathbf{N}}_2\right\}=0$$(2) 而假设系统噪声${\mathbf{N}}_1(t)$与测量噪声${\mathbf{N}}_2(t)$之间具有如下相关关系（注意！通常认为二者不具有相关关系，但此处二者是具有相关关系的！）
$$M\left\{{\mathbf{N}}_1(t){\mathbf{N}}_2^{\mathrm{T}}(\tau )\right\}={\mathbf{S}}_3(t)\delta (t-\tau )$$其中${\mathbf{S}}_3(t)$为对称正定矩阵，因此${\mathbf{S}}_3^{\mathrm{T}}(t)={\mathbf{S}}_3(t)$。

(3) 式(1)给出了系统的微分方程表达式。当然，可以借助状态转移矩阵的思想，将(1)式两边积分，就可以得到系统状态$\mathbf{X}(t)$在任意时刻$\forall t\ge t_0$的值：
$$\mathbf{X}(t)=\mathbf{\Phi }(t,t_0)\mathbf{X}(t_0)+{\int }_{t_0}^t\mathbf{\Phi }(t,\mathrm{s})\mathbf{G}(\mathrm{s}){\mathbf{N}}_1(\mathrm{s})d\mathrm{s}$$其中$\mathbf{\Phi }(t,t_0)$为状态转移矩阵，利用它和初值可以得到任意时刻的状态值。那么，可以求解状态量$\mathbf{X}(t)$和测量噪声${\mathbf{N}}_2(t)$之间的相关关系：
$$\begin{array}{rl}M\left\{\mathbf{X}(t){\mathbf{N}}_2^{\mathrm{T}}(\tau )\right\}& =M\left\{\mathbf{\Phi }(t,t_0)\mathbf{X}(t_0){\mathbf{N}}_2^{\mathrm{T}}(\tau )+{\int }_{t_0}^t\mathbf{\Phi }(t,\mathrm{s})\mathbf{G}(\mathrm{s}){\mathbf{N}}_1(\mathrm{s})d\mathrm{s}{\mathbf{N}}_2^{\mathrm{T}}(\tau )\right\}\\ & =\mathbf{\Phi }(t,t_0)M\left\{\mathbf{X}(t_0){\mathbf{N}}_2^{\mathrm{T}}(\tau )\right\}+{\int }_{t_0}^t\mathbf{\Phi }(t,\mathrm{s})\mathbf{G}(\mathrm{s})M\left\{{\mathbf{N}}_1(\mathrm{s}){\mathbf{N}}_2^{\mathrm{T}}(\tau )\right\}d\mathrm{s}\\ & =0+{\int }_{t_0}^t\mathbf{\Phi }(t,\mathrm{s})\mathbf{G}(\mathrm{s})\cdot {\mathbf{S}}_3(t)\delta (t-\tau )d\mathrm{s}\\ & =\mathbf{\Phi }(t,\tau )\mathbf{G}(\tau ){\mathbf{S}}_3(\tau ),\left(t_0\le \tau \le t\right)\end{array}$$
滤波器的任务，就是根据测量值$\mathbf{Y}(t)$得到状态量$\mathbf{X}(t)$的估计，且该估计为无偏的和最小误差均方差的。

3. 公式推导

(1) 无偏估计条件

设所求的线性滤波器的估计值$\hat{\mathbf{X}}(t)$可以描述为
$$\dot{\hat{\mathbf{X}}}(t)=\mathbf{F}(t)\hat{\mathbf{X}}(t)+{\mathbf{K}}_{\varphi }(t)\mathbf{Y}(t)\text{\hspace{1em}(3)}$$为满足无偏估计的条件，需要有
M { X ^ ( t ) } = M { X ( t ) } = X ˉ ( t ) (4) M\left\{ \hat {\mathbf{X} }(t) \right\} = M\left\{ \mathbf{X}(t) \right\} = \bar {\mathbf{X} }(t) \tag{4} M{ X^(t)}=M{ X(t)}=Xˉ(t)(4)对式(3)两边取期望有
M { X ^ ˙ ( t ) } = F ( t ) M { X ^ ( t ) } + K ϕ ( t ) M { Y ( t ) } (5) M\left\{ \dot{ \hat{ \mathbf{X} } } (t) \right\} = \mathbf{F}(t) M\left\{ \hat {\mathbf{X} }(t) \right\} + \mathbf{K}_\phi(t) M\left\{ \mathbf{Y}(t) \right\} \tag{5} M{ X^˙(t)}=F(t)M{ X^(t)}+Kϕ​(t)M{ Y(t)}(5)又由式(2)有$\mathbf{Y}(t)=\mathbf{C}(t)\mathbf{X}(t)+{\mathbf{N}}_2(t)$，对式(2)两边取期望有
M { Y ( t ) } = M { C ( t ) X ( t ) + N 2 ( t ) } = M { C ( t ) X ( t ) } + M { N 2 ( t ) } = C ( t ) X ˉ ( t ) + 0 = C ( t ) X ˉ ( t ) \begin{aligned} M\left\{ \mathbf{Y}(t) \right\} &= M\left\{ \mathbf{C}(t) \mathbf{X}(t) + \mathbf{N}_2(t) \right\} \\ &= M\left\{ \mathbf{C}(t) \mathbf{X}(t) \right\} + M\left\{ \mathbf{N}_2(t) \right\}\\ &= \mathbf{C}(t) \bar {\mathbf{X} }(t) + 0 \\ &= \mathbf{C}(t) \bar {\mathbf{X} }(t) \end{aligned} M{ Y(t)}​=M{ C(t)X(t)+N2​(t)}=M{ C(t)X(t)}+M{ N2​(t)}=C(t)Xˉ(t)+0=C(t)Xˉ(t)​代入式(5)并根据式(4)有
M { X ^ ˙ ( t ) } = F ( t ) M { X ^ ( t ) } + K ϕ ( t ) M { Y ( t ) } = F ( t ) M { X ^ ( t ) } + K ϕ ( t ) ⋅ C ( t ) X ˉ ( t ) = F ( t ) M { X ^ ( t ) } + K ϕ ( t ) ⋅ C ( t ) M { X ^ ( t ) } = [ F ( t ) + K ϕ ( t ) C ( t ) ] ⋅ M { X ^ ( t ) } (6) \begin{aligned} M\left\{ \dot{ \hat{ \mathbf{X} } } (t) \right\} &= \mathbf{F}(t) M\left\{ \hat {\mathbf{X} }(t) \right\} + \mathbf{K}_\phi(t) M\left\{ \mathbf{Y}(t) \right\} \\ &= \mathbf{F}(t) M\left\{ \hat {\mathbf{X} }(t) \right\} + \mathbf{K}_\phi(t) \cdot \mathbf{C}(t) \bar {\mathbf{X} }(t) \\ &= \mathbf{F}(t) M\left\{ \hat {\mathbf{X} }(t) \right\} + \mathbf{K}_\phi(t) \cdot \mathbf{C}(t) M\left\{ \hat {\mathbf{X} }(t) \right\} \\ &= \left[ \mathbf{F}(t) + \mathbf{K}_\phi(t) \mathbf{C}(t) \right] \cdot M\left\{ \hat {\mathbf{X} }(t) \right\} \end{aligned} \tag{6} M{ X^˙(t)}​=F(t)M{ X^(t)}+Kϕ​(t)M{ Y(t)}=F(t)M{ X^(t)}+Kϕ​(t)⋅C(t)Xˉ(t)=F(t)M{ X^(t)}+Kϕ​(t)⋅C(t)M{ X^(t)}=[F(t)+Kϕ​(t)C(t)]⋅M{ X^(t)}​(6)另一方面，对式(1)两边取数学期望有（考虑到噪声的期望为0）
$$\dot{\bar{\mathbf{X}}}(t)=\mathbf{A}(t)\bar{\mathbf{X}}(t)\text{\hspace{1em}(7)}$$根据式(4)可以看出，式(6)和式(7)的等号右边应该相等，那么
$$\mathbf{F}(t)+{\mathbf{K}}_{\varphi }(t)\mathbf{C}(t)=\mathbf{A}(t)$$或$$\mathbf{F}(t)=\mathbf{A}(t)-{\mathbf{K}}_{\varphi }(t)\mathbf{C}(t)\text{\hspace{1em}(8)}$$反代回式(3)，得到滤波器的结构
$$\dot{\hat{\mathbf{X}}}(t)=\left[\mathbf{A}(t)-{\mathbf{K}}_{\varphi }(t)\mathbf{C}(t)\right]\hat{\mathbf{X}}(t)+{\mathbf{K}}_{\varphi }(t)\mathbf{Y}(t)\text{\hspace{1em}(9)}$$应当注意的是，估计值$\hat{\mathbf{X}}$的初值应当尽可能接近真值，即$\hat{\mathbf{X}}(t_0)={\bar{\mathbf{X}}}^0$，此时的滤波器才有效。

(2) 最小误差均方差条件

最小误差均方差条件表示为
$$M\left\{\Vert {\mathbf{X}}_{\sigma }(t){\Vert }^2\right\}\to \underset{{\mathbf{K}}_{\varphi }(t)}{\min }$$其中${\mathbf{X}}_{\sigma }(t)=\mathbf{X}(t)-\hat{\mathbf{X}}(t)$。
不难看出：
$$M\left\{\Vert {\mathbf{X}}_{\sigma }(t){\Vert }^2\right\}=\mathrm{tr}\left[{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }(t)\right]\text{\hspace{1em}(10)}$$其中${\mathbf{D}}_{XX}(t)$表示$\mathbf{X}(t)$方差，即${\mathbf{D}}_{XX}(t)=M\left\{\left(\mathbf{X}-\bar{\mathbf{X}}\right){\left(\mathbf{X}-\bar{\mathbf{X}}\right)}^{\mathrm{T}}\right\}$。
对误差求导有（用到式(2)(9)）
$$\begin{array}{rl}{\dot{\mathbf{X}}}_{\sigma }(t)& =\dot{\mathbf{X}}(t)-\dot{\hat{\mathbf{X}}}(t)\\ & =\left[\mathbf{A}(t)\mathbf{X}(t)+\mathbf{G}(t){\mathbf{N}}_1(t)\right]-\left\{\left[\mathbf{A}(t)-{\mathbf{K}}_{\varphi }(t)\mathbf{C}(t)\right]\hat{\mathbf{X}}(t)+{\mathbf{K}}_{\varphi }(t)\mathbf{Y}(t)\right\}\\ & =\mathbf{A}(t)\mathbf{X}(t)+\mathbf{G}(t){\mathbf{N}}_1(t)-\mathbf{A}(t)\hat{\mathbf{X}}(t)+{\mathbf{K}}_{\varphi }(t)\mathbf{C}(t)\hat{\mathbf{X}}(t)-{\mathbf{K}}_{\varphi }(t)\mathbf{Y}(t)\\ & =\mathbf{A}(t)\left[\mathbf{X}(t)-\hat{\mathbf{X}}(t)\right]+\mathbf{G}(t){\mathbf{N}}_1(t)+{\mathbf{K}}_{\varphi }(t)\mathbf{C}(t)\hat{\mathbf{X}}(t)-{\mathbf{K}}_{\varphi }(t)\left[\mathbf{C}(t)\mathbf{X}(t)+{\mathbf{N}}_2(t)\right]\\ & =\mathbf{A}(t){\mathbf{X}}_{\sigma }(t)+\mathbf{G}(t){\mathbf{N}}_1(t)-{\mathbf{K}}_{\varphi }(t){\mathbf{N}}_2(t)-{\mathbf{K}}_{\varphi }(t)\mathbf{C}(t){\mathbf{X}}_{\sigma }(t)\\ & =\left[\mathbf{A}(t)-{\mathbf{K}}_{\varphi }(t)\mathbf{C}(t)\right]{\mathbf{X}}_{\sigma }(t)+\mathbf{G}(t){\mathbf{N}}_1(t)-{\mathbf{K}}_{\varphi }(t){\mathbf{N}}_2(t)\\ & =\left[\mathbf{A}(t)-{\mathbf{K}}_{\varphi }(t)\mathbf{C}(t)\right]{\mathbf{X}}_{\sigma }(t)+\mathbf{u}\\ & =\tilde{\mathbf{A}}(t){\mathbf{X}}_{\sigma }(t)+\mathbf{u}\end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$其中
u ( t ) = G ( t ) N 1 ( t ) − K ϕ ( t ) N 2 ( t ) , M { u ( t ) } = 0 \mathbf{u}(t) = \mathbf{G}(t) \mathbf{N}_1(t) - \mathbf{K}_\phi(t) \mathbf{N}_2(t),\quad M\left\{ \mathbf{u}(t) \right\} = 0 u(t)=G(t)N1​(t)−Kϕ​(t)N2​(t),M{ u(t)}=0且初始条件${\mathbf{X}}_{\sigma }(t)=\mathbf{X}(t_0)-{\bar{\mathbf{X}}}^0$。

对于$\mathbf{u}(t)$来说，其方差（式中省略$(t)$以便书写）
$$\begin{array}{rl}M\left\{\mathbf{u}(t){\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}(\tau )\right\}& =M\left\{\left[\mathbf{G}{\mathbf{N}}_1-{\mathbf{K}}_{\varphi }{\mathbf{N}}_2\right]\cdot {\left[\mathbf{G}{\mathbf{N}}_1-{\mathbf{K}}_{\varphi }{\mathbf{N}}_2\right]}^{\mathrm{T}}\right\}\\ & =M\left\{\left[\mathbf{G}{\mathbf{N}}_1-{\mathbf{K}}_{\varphi }{\mathbf{N}}_2\right]\cdot \left[{\mathbf{N}}_1^{\mathrm{T}}{\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}-{\mathbf{N}}_2^{\mathrm{T}}{\mathbf{K}}_{\varphi }^{\mathrm{T}}\right]\right\}\\ & =M\left\{\mathbf{G}{\mathbf{N}}_1{\mathbf{N}}_1^{\mathrm{T}}{\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}-\mathbf{G}{\mathbf{N}}_1{\mathbf{N}}_2^{\mathrm{T}}{\mathbf{K}}_{\varphi }^{\mathrm{T}}-{\mathbf{K}}_{\varphi }{\mathbf{N}}_2{\mathbf{N}}_1^{\mathrm{T}}{\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{K}}_{\varphi }{\mathbf{N}}_2{\mathbf{N}}_2^{\mathrm{T}}{\mathbf{K}}_{\varphi }^{\mathrm{T}}\right\}\\ & =M\left\{\mathbf{G}{\mathbf{N}}_1{\mathbf{N}}_1^{\mathrm{T}}{\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}\right\}-M\left\{\mathbf{G}{\mathbf{N}}_1{\mathbf{N}}_2^{\mathrm{T}}{\mathbf{K}}_{\varphi }^{\mathrm{T}}\right\}-M\left\{{\mathbf{K}}_{\varphi }{\mathbf{N}}_2{\mathbf{N}}_1^{\mathrm{T}}{\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}\right\}+M\left\{{\mathbf{K}}_{\varphi }{\mathbf{N}}_2{\mathbf{N}}_2^{\mathrm{T}}{\mathbf{K}}_{\varphi }^{\mathrm{T}}\right\}\end{array}$$由于$M\left\{{\mathbf{N}}_1(t){\mathbf{N}}_1^{\mathrm{T}}(t)\right\}={\mathbf{S}}_1(t)\delta (t-\tau ),M\left\{{\mathbf{N}}_2(t){\mathbf{N}}_2^{\mathrm{T}}(t)\right\}={\mathbf{S}}_2(t)\delta (t-\tau ),M\left\{{\mathbf{N}}_1(t){\mathbf{N}}_2^{\mathrm{T}}(\tau )\right\}={\mathbf{S}}_3(t)\delta (t-\tau )$，于是上式变为
$$\begin{array}{rl}M\left\{\mathbf{u}(t){\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}(\tau )\right\}& =M\left\{\mathbf{G}{\mathbf{N}}_1{\mathbf{N}}_1^{\mathrm{T}}{\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}\right\}-M\left\{\mathbf{G}{\mathbf{N}}_1{\mathbf{N}}_2^{\mathrm{T}}{\mathbf{K}}_{\varphi }^{\mathrm{T}}\right\}-M\left\{{\mathbf{K}}_{\varphi }{\mathbf{N}}_2{\mathbf{N}}_1^{\mathrm{T}}{\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}\right\}+M\left\{{\mathbf{K}}_{\varphi }{\mathbf{N}}_2{\mathbf{N}}_2^{\mathrm{T}}{\mathbf{K}}_{\varphi }^{\mathrm{T}}\right\}\\ & =\left[\mathbf{G}{\mathbf{S}}_1{\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}-\mathbf{G}(t){\mathbf{S}}_3{\mathbf{K}}_{\varphi }^{\mathrm{T}}-{\mathbf{K}}_{\varphi }{\mathbf{S}}_3{\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{K}}_{\varphi }{\mathbf{S}}_2{\mathbf{K}}_{\varphi }^{\mathrm{T}}\right]\delta (t-\tau )\end{array}\text{\hspace{1em}(12)}$$

(3) 误差的方差条件

这里不加证明地给出如下结论：
当$\dot{\mathbf{X}}(t)=\mathbf{A}(t)\mathbf{X}(t)+\mathbf{G}(t){\mathbf{N}}_1(t)$时，其方差满足如下微分方程
$${\dot{\mathbf{D}}}_{XX}(t)=\mathbf{A}(t){\mathbf{D}}_{XX}(t)+{\mathbf{D}}_{XX}(t){\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}(t)+\mathbf{G}(t){\mathbf{S}}_1(t){\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}(t)\text{\hspace{1em}(13)}$$那么，当${\dot{\mathbf{X}}}_{\sigma }(t)$具有式(11)的形式时，代入式(13)可以得到估计误差${\mathbf{X}}_{\sigma }(t)$的方差${\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }(t)$满足的微分方程：
$$\begin{array}{rl}{\dot{\mathbf{D}}}_{\sigma \sigma }(t)& =\tilde{\mathbf{A}}(t){\mathbf{D}}_{XX}(t)+{\mathbf{D}}_{XX}(t){\tilde{\mathbf{A}}}^{\mathrm{T}}(t)+M\left\{\mathbf{u}(t){\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}(\tau )\right\}/\delta (t-\tau )\\ & =\left[\mathbf{A}-{\mathbf{K}}_{\varphi }\mathbf{C}\right]{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }+{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }{\left[\mathbf{A}-{\mathbf{K}}_{\varphi }\mathbf{C}\right]}^{\mathrm{T}}+\left[\mathbf{G}{\mathbf{S}}_1{\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}-\mathbf{G}{\mathbf{S}}_3{\mathbf{K}}_{\varphi }^{\mathrm{T}}-{\mathbf{K}}_{\varphi }{\mathbf{S}}_3{\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{K}}_{\varphi }{\mathbf{S}}_2{\mathbf{K}}_{\varphi }^{\mathrm{T}}\right]\\ & =\tilde{\mathbf{A}}(t){\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }+{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }{\tilde{\mathbf{A}}}^{\mathrm{T}}(t)+\mathbf{G}{\mathbf{S}}_1{\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}-\mathbf{G}{\mathbf{S}}_3{\mathbf{K}}_{\varphi }^{\mathrm{T}}-{\mathbf{K}}_{\varphi }{\mathbf{S}}_3{\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{K}}_{\varphi }{\mathbf{S}}_2{\mathbf{K}}_{\varphi }^{\mathrm{T}}\end{array}\text{\hspace{1em}(14)}$$

(4) ${\mathbf{K}}_{\varphi }(t)$的推导

现在滤波器的任务转化为求解${\mathbf{K}}_{\varphi }(t)$使得${\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }(t)$最小。可以想到，当方差${\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }(t)$最小时，同样我们也期望方差稳定在该最小值附近不要变化，即其导数${\dot{\mathbf{D}}}_{\sigma \sigma }(t)$同样方差最小。表示为
min ⁡ K ϕ ( t ) { t r [ D σ σ ( t ) ] } → K ~ ϕ ∗ ( t ) max ⁡ K ϕ ( t ) { − t r [ D ˙ σ σ ( t ) ] } → K ~ ~ ϕ ∗ ( t ) \min_{ \mathbf{K}_\phi(t) } \left\{ {\rm tr} \left[ \mathbf{D}_{\sigma \sigma} (t) \right] \right\} \rightarrow \tilde{ \mathbf{K} }_\phi^* (t) \\ \max_{ \mathbf{K}_\phi(t) } \left\{ {\rm -tr} \left[ \dot{ \mathbf{D} }_{\sigma \sigma} (t) \right] \right\} \rightarrow \tilde{ \tilde{ \mathbf{K} } }_\phi^* (t) Kϕ​(t)min​{ tr[Dσσ​(t)]}→K~ϕ∗​(t)Kϕ​(t)max​{ −tr[D˙σσ​(t)]}→K~~ϕ∗​(t)由于${\mathbf{K}}_{\varphi }(t)$唯一，故
$${\tilde{\mathbf{K}}}_{\varphi }^{\ast }(t)={\widetilde{\stackrel{~}{\mathbf{K}}}}_{\varphi }^{\ast }(t)$$借助变分法知识并参照欧拉方程（这里我也不知道怎么得来的），${\mathbf{K}}_{\varphi }(t)$满足
$$\frac{\partial }{\partial {\mathbf{K}}_{\varphi }(t)}\mathrm{tr}\left[{\dot{\mathbf{D}}}_{\sigma \sigma }(t)\right]=0\text{\hspace{1em}(15)}$$

(5) 矩阵迹的求导

为了求解式(15)，需要先介绍一些涉及到矩阵迹的求导公式：
$$\begin{gathered} \frac{\partial \mathrm{tr}\left(\mathbf{PQ}{\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}\right)}{\partial \mathbf{P}}=\mathbf{P}\left(\mathbf{Q}+{\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\right) \\ \frac{\partial \mathrm{tr}\left(\mathbf{PQ}\right)}{\partial \mathbf{Q}}={\mathbf{P}}^{\mathrm{T}} \\ \frac{\partial \mathrm{tr}\left(\mathbf{QP}\right)}{\partial \mathbf{Q}}={\mathbf{P}}^{\mathrm{T}} \\ \frac{\partial \mathrm{tr}\left(\mathbf{P}{\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\right)}{\partial \mathbf{Q}}=\mathbf{P} \\ \frac{\partial \mathrm{tr}\left({\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\right)}{\partial \mathbf{Q}}=\mathbf{P} \end{gathered}$$参照式(14)右边的各项，先得出如下项的迹的导数：
$$\begin{gathered} \frac{\partial \mathrm{tr}\left(\mathbf{A}-{\mathbf{K}}_{\varphi }\mathbf{C}\right)}{\partial {\mathbf{K}}_{\varphi }}=\frac{\partial \mathrm{tr}\left(\mathbf{A}\right)}{\partial {\mathbf{K}}_{\varphi }}-\frac{\partial \mathrm{tr}\left({\mathbf{K}}_{\varphi }\mathbf{C}\right)}{\partial {\mathbf{K}}_{\varphi }}=0-{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}=-{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}} \\ \frac{\partial \mathrm{tr}\left({\mathbf{K}}_{\varphi }{\mathbf{S}}_2{\mathbf{K}}_{\varphi }^{\mathrm{T}}\right)}{\partial {\mathbf{K}}_{\varphi }}={\mathbf{K}}_{\varphi }\left({\mathbf{S}}_2+{\mathbf{S}}_2^{\mathrm{T}}\right)=2{\mathbf{K}}_{\varphi }{\mathbf{S}}_2 \\ \frac{\partial \mathrm{tr}\left(\mathbf{G}(t){\mathbf{S}}_3{\mathbf{K}}_{\varphi }^{\mathrm{T}}\right)}{\partial {\mathbf{K}}_{\varphi }}=\mathbf{G}(t){\mathbf{S}}_3 \\ \frac{\partial \mathrm{tr}\left({\mathbf{K}}_{\varphi }{\mathbf{S}}_3{\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}\right)}{\partial {\mathbf{K}}_{\varphi }}={\left[{\mathbf{S}}_3{\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}\right]}^{\mathrm{T}}=\mathbf{G}(t){\mathbf{S}}_3 \end{gathered}$$把如上式子全部代入微分方程(15)，可以求解得
$${\mathbf{K}}_{\varphi }^{\ast }(t)=\left[{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }(t){\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}(t)+\mathbf{G}(t){\mathbf{S}}_3(t)\right]{\mathbf{S}}_2^{-1}(t)\text{\hspace{1em}(16 – 1)}$$

(6) 两个噪声之间的特殊情况

以上所有推导都是建立在第2节第(2)点上的：${\mathbf{N}}_1(t)$与${\mathbf{N}}_2(t)$相关，即$M\left\{{\mathbf{N}}_1(t){\mathbf{N}}_2^{\mathrm{T}}(\tau )\right\}={\mathbf{S}}_3(t)\delta (t-\tau )$。然而，这两个噪声一个是系统噪声，一个是测量噪声，在实际中往往是不相关的。

当二者不相关时，$M\left\{{\mathbf{N}}_1(t){\mathbf{N}}_2^{\mathrm{T}}(\tau )\right\}=0$，即${\mathbf{S}}_3(t)=0$。在这种特殊情况下，式(16 – 1)具有较为理想的特殊形式
$${\mathbf{K}}_{\varphi }^{\ast }(t)={\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }(t){\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}(t){\mathbf{S}}_2^{-1}(t)\text{\hspace{1em}(16 – 2)}$$式(16 – 1)和(16 – 2)即为所求得的最优Kalman-Bucy滤波器表达式。

最后，将式(16 – 1)反代回式(14)，以求得不显含${\mathbf{K}}_{\varphi }^{\ast }(t)$的误差方差${\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }(t)$满足的微分方程：
$$\begin{array}{rl}{\dot{\mathbf{D}}}_{\sigma \sigma }(t)& =\left[\mathbf{A}-{\mathbf{K}}_{\varphi }^{\ast }\mathbf{C}\right]{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }+{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }{\left[\mathbf{A}-{\mathbf{K}}_{\varphi }^{\ast }\mathbf{C}\right]}^{\mathrm{T}}+\left[\mathbf{G}{\mathbf{S}}_1{\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}-\mathbf{G}{\mathbf{S}}_3{\mathbf{K}}_{\varphi }^{\ast \mathrm{T}}-{\mathbf{K}}_{\varphi }^{\ast }{\mathbf{S}}_3{\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{K}}_{\varphi }^{\ast }{\mathbf{S}}_2{\mathbf{K}}_{\varphi }^{\ast \mathrm{T}}\right]\\ & =\left\{\mathbf{A}-\left[{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}+\mathbf{G}{\mathbf{S}}_3\right]{\mathbf{S}}_2^{-1}\cdot \mathbf{C}\right\}{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }+{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }{\left\{\mathbf{A}-\left[{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}+\mathbf{G}{\mathbf{S}}_3\right]{\mathbf{S}}_2^{-1}\cdot \mathbf{C}\right\}}^{\mathrm{T}}+\\ & +\mathbf{G}{\mathbf{S}}_1{\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}-\mathbf{G}{\mathbf{S}}_3{\left\{\left[{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}+\mathbf{G}{\mathbf{S}}_3\right]{\mathbf{S}}_2^{-1}\right\}}^{\mathrm{T}}-\left[{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}+\mathbf{G}{\mathbf{S}}_3\right]{\mathbf{S}}_2^{-1}\cdot {\mathbf{S}}_3{\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}\\ & +\left[{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}+\mathbf{G}{\mathbf{S}}_3\right]{\mathbf{S}}_2^{-1}\cdot {\mathbf{S}}_2\cdot {\mathbf{K}}_{\varphi }^{\ast \mathrm{T}}{\left\{\left[{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}+\mathbf{G}{\mathbf{S}}_3\right]{\mathbf{S}}_2^{-1}\right\}}^{\mathrm{T}}\\ & =\left(\mathbf{A}-\mathbf{G}{\mathbf{S}}_3{\mathbf{S}}_2^{-1}\mathbf{C}\right){\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }+{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }{\left(\mathbf{A}-\mathbf{G}{\mathbf{S}}_3{\mathbf{S}}_2^{-1}\mathbf{C}\right)}^{\mathrm{T}}-{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{S}}_2^{-1}\mathbf{C}{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }+\mathbf{G}\left({\mathbf{S}}_1-{\mathbf{S}}_3{\mathbf{S}}_2^{-1}{\mathbf{S}}_3\right){\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}\end{array}\text{\hspace{1em}(17 – 1)}$$当${\mathbf{N}}_1(t)$与${\mathbf{N}}_2(t)$不相关时${\mathbf{S}}_3(t)=0$，上式变为
$${\dot{\mathbf{D}}}_{\sigma \sigma }(t)=\mathbf{A}{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }+{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}-{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{S}}_2^{-1}\mathbf{C}{\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }+\mathbf{G}{\mathbf{S}}_1{\mathbf{G}}^{\mathrm{T}}\text{\hspace{1em}(17 – 2)}$$至此，式(17 – 1)和(17 – 2)给出了不含${\mathbf{K}}_{\varphi }(t)$的估计误差方差${\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }(t)$表达式。

(7) 滤波器的结论

式(16)给出了最优Kalman-Bucy滤波器的表达式${\mathbf{K}}_{\varphi }^{\ast }(t)$。

a) Kalman-Bucy滤波器具有式(9)的形式，它利用测量值$\mathbf{Y}(t)$可以求出状态量$\mathbf{X}(t)$的真值。
b) 由式(9)可以看出，在这个过程中需要用到状态矩阵$\mathbf{A}(t)$和测量矩阵$\mathbf{C}(t)$，二者可以在参数估计或参数识别的前提下获得。
c) 利用式(17)，可以直接基于状态矩阵$\mathbf{A}(t)$、测量矩阵$\mathbf{C}(t)$与两个噪声的方差分布矩阵${\mathbf{S}}_i(t)$计算出估计误差${\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }$，而绕开${\mathbf{K}}_{\varphi }(t)$的计算。
d) 在计算出${\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }$之后，代入式(16)，就能计算出${\mathbf{K}}_{\varphi }(t)$，进而得出Kalman-Bucy滤波器的结构如式(9)。
e) 式(9)计算得出的状态估计值$\hat{\mathbf{X}}(t)$可以满足无偏估计，并使得估计误差的均方差最小。
f) 不可忽视的条件：以上所有都建立在2大基础上：一是对系统的状态矩阵$\mathbf{A}(t)$和测量矩阵$\mathbf{C}(t)$的估计足够准确，这对参数辨识提出了较高要求；二是估计值$\hat{\mathbf{X}}(t)$的初值需要估计准确，即结果受初值影响较大。
g) 利用Kalman-Bucy滤波器对状态进行滤波的步骤：参数辨识得出系统模型$\mathbf{A}(t),\mathbf{C}(t)$ —— 根据式(17)计算得到误差方差${\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }$ —— 将${\mathbf{D}}_{\sigma \sigma }$代入式(16)计算得到滤波器的最优系数矩阵${\mathbf{K}}_{\varphi }^{\ast }(t)$，该矩阵可以满足状态估计值的无偏和误差均方差最小 —— 利用式(9)构建Kalman-Bucy滤波器，并求解得出状态估计值$\hat{\mathbf{X}}(t)$。