期望dp自学笔记

期望dp

第一次做这种题，搜了好多相关的资料才看懂。

规律

1.期望可以分解成多个子期望的加权和，权为子期望发生的概率，即
$E(aA+bB+\dots )$
$=aE(A)+bE(B)+\dots +1E(aA+bB+\dots )$
$=aE(A)+bE(B)+\dots +1E(aA+bB+\dots )$
$=aE(A)+bE(B)+\dots +1；$
2.期望从后往前找，一般 $dp[n]=0,dp[0]$ 是答案；
3.解决过程，找出各种情况乘上这种情况发生的概率，求和；
4.概率DP一定要初始化！
5.与常规的求解不同，数学期望经常逆向推出。

几种常见设转移方程数组的方法

设 $f[i]$ 表示的是由 $i$ 状态变成 最终 状态的期望
按照题意直接设
把选择的东西加入数组，如 $f[i][j]$ 表示第 $i$ 个物品选 $j$ 个的期望或 $f[i][j]$ 表示有$i$ 个 $A$ 物品，
$j$ 个 $B$ 物品的期望

code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 305
double f[maxn][maxn][maxn];//状态：f[i,j,k]:有i个一个寿司盘子，j个两个寿司盘子，k个三个寿司盘子的期望值。
int a[5];
int n;
int main() {
    
    
	scanf( "%d", &n );
	for ( int i = 1, x; i <= n; i ++ ) scanf( "%d", &x ), a[x] ++; //统计各种寿司盘有多少
	for ( int k = 0; k <= n; k ++ )
		for ( int j = 0; j <= n; j ++ )
			for ( int i = 0; i <= n; i ++ )
				if ( i or j or k ) {
    
    //数学期望 P=Σ每一种状态*对应的概率,没啥可说的。
					if ( i ) f[i][j][k] += f[i - 1][j][k] * i / (i + j + k); //个数为1的盘子吃掉一个就没有了；
					if ( j ) f[i][j][k] += f[i + 1][j - 1][k] * j / (i + j + k); //个数为2的盘子吃掉一个就少了一个个数为2的盘子，多一个个数为1的盘子;
					if ( k ) f[i][j][k] += f[i][j + 1][k - 1] * k / (i + j + k); //个数为3的盘子吃掉一个就少了一个个数为3的盘子，多一个个数为2的盘子
					f[i][j][k] += n * 1.0 / (i + j + k);
				}
	printf( "%.10f\n", f[a[1]][a[2]][a[3]] );
}

还行，这个可以算个模板题了吧