洛谷 P2303 [SDOi2012]Longge的问题 解题报告

P2303 [SDOi2012]Longge的问题

题目背景

SDOi2012

题目描述

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数\(N\)，你需要求出\(\sum gcd(i, N)(1<=i <=N)\)。

输入输出格式

输入格式：

一个整数，为N。

输出格式：

一个整数，为所求的答案。

说明

对于60%的数据，0<N<=2^16

对于100%的数据，0<N<=2^32

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问题很简短求\(\sum_{i=1}^n gcd(i,n)\)

先暴力枚举\(n\)的所有约数\(d\)，讨论\(d\)可以产生的贡献

设\(m\)满足\(gcd(m,n)=d\)，则有\(gcd(m/d,n/d)=1\)

则这样的\(m/d\)的个数为\(φ(n/d)\)。

所以\(d\)产生的贡献为\(d*φ(n/d)\)

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则答案为\(\sum_{d|n} φ(n/d)\)

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Code:

#include <cstdio>
#include <cmath>
#define ll long long
ll n,r,ans;
ll get(ll k)
{
    ll eu=k;
    for(ll i=2;i*i<=k;i++)
    {
        if(k%i==0)
            eu=eu*(i-1)/i;
        while(k%i==0)
            k/=i;
    }
    if(k>1) eu=eu*(k-1)/k;
    return eu;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    r=sqrt(n);
    for(int i=1;i<=r;i++)
        if(n%i==0)
        {
            ans+=i*get(n/i);
            ans+=n/i*get(i);
        }
    if(r*r==n)
        ans-=r*get(n/r);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

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2018.6.29