P2303 [SDOI2012] Longge 的问题(欧拉函数，推式子)

P2303 [SDOI2012] Longge 的问题

题意：求

推式子

$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^{n}gcd(i,n) \\ \sum _{d|n}d\sum _{i=1}^n[gcd(i,n)=d] \\ \sum _{d|n}d\sum _{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,\frac{n}{d})=1] \\ \sum _{d|n}d\varphi (\frac{n}{d}) \end{gathered}$$
第一个式子：题目。

第二个式子：我们加一个枚举，枚举n的因子d（因为$gcd(i,n)$一定是d的因子），然后统计$[1,n]$中有多少个$gcd(i,n)=d$，乘起来就是这个d对答案的贡献，把每个d算一遍，就是答案了。

第三个式子：我们可以这样理解$gcd(i,n)=d，等价于gcd(\frac{i}{d},\frac{n}{d})=1$，也就是我们可以在$[1,n/d]$枚举$i$,判断有多少个$gcd(i,\frac{n}{d})=1$等价于在$[1,n]$枚举$i$判断有多少个$gcd(i,n)=d$。

第四个式子：欧拉函数的定义。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll phi(ll x) {
    
    
	//根据欧拉函数的性质，求欧拉函数值
    ll n = x, res = x;
    if(x == 1 || x == 2) return 1;
    for(ll i=2; i*i<=x; i++) {
    
    
        if(n % i == 0) {
    
    
            res = res/i*(i-1);
            while(n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if(n > 1) res -= res/n;
    return res;
}
int main() {
    
    
    ll n, ans = 0;
    cin >> n;
    for(ll i=1; i*i<=n; i++) {
    
    //枚举n的每个因子
        if(n % i == 0) {
    
    
            ans += phi(i)*(n/i);
            //如果i*i != n，i和n/i就不相等了，就可以都加起来，不然的话只能加一遍。
            if(n/i != i) ans += phi(n/i)*i;
        }
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

End