BZOJ2705: [SDOI2012]Longge的问题 欧拉函数

Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

「数据范围」
对于60%的数据，0<N<=2^16。
对于100%的数据，0<N<=2^32。

Solution

很直观的一个想法：对于每个gcd的取值算出贡献

设$f(i)$表示$gcd(m,n)=i$的m的个数

因为$gcd(m,n)=i$，所以$gcd(m/i,n/i)=1$，于是$f(i)$就是$\phi(n/i)$

复杂度$O(n)$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std ;

#define ll long long

ll phi( ll n ) {
    ll m = sqrt( n ) , ans = n ;
    for( ll i = 2 ; i <= m ; i ++ ) {
        if( n % i == 0 ) {
            ans = ans / i * ( i - 1 ) ;
            while( n % i == 0 ) n /= i ; 
        }
    }
    if( n > 1 ) ans = ans / n * ( n - 1 ) ;
    return ans ;
}

ll n , ans ;

int main() {
    scanf( "%lld" , &n ) ;
    ll m = sqrt( n ) ;
    for( int i = 1 ; i <= m ; i ++ ) {
        if( n % i == 0 ) {
            ans = 1ll * ( ans + phi( n / i ) * i ) ;
            if( i * i < n ) ans = 1ll * ( ans + phi( i ) * ( n / i ) ) ; 
        }
    }
    printf( "%lld\n" , ans ) ;
}