题目描述很简洁，求\(\sum_{i=1}^ngcd(i,n)\)
由于我们难以直接求出\(gcd\)，所以我们换一种比较套路的做法：枚举\(gcd\)，转化为数论函数计算。
根据欧拉函数的性质：\(n = \sum_{d|n}\varphi(d)\)，那么我们就能把式子改写一下，得到
\[\sum_{i=1}^n\sum_{d|i,d|n} \varphi(d)\]
转换一下可以得到：
\[\sum_{i=1,d|i}^n\sum_{d|n} \varphi(d)\]
前面那一项就是\(\frac{n}{d}\) ,把两项调换一下
所以结果就是 \[\sum_{d|n}d \varphi(\frac{n}{d})\]
或者我们可以换一种推导方法，同样是枚举gcd，这次我们改写成这个形式：
\[\sum_{d|n}\sum_{i=1}^n[gcd(i,n) == d]\]
把d除进去，就有：
\[\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,\frac{n}{d}) == 1]\]
然后后面其实就是一个欧拉函数的形式，所以结果就是：
\[\sum_{d|n} d \varphi(\frac{n}{d})\]
我们只要每次在\(\sqrt{n}\)的范围内枚举质因子，然后在\(O(\sqrt{n})\)的时间内计算欧拉函数即可。注意要开\(longlong\)。
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#include<algorithm>
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#include<iostream>
#include<cmath>
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#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar('\n')
#define fr friend inline
#define y1 poj
#define mp make_pair
#define pr pair<int,int>
#define fi first
#define sc second
#define pb push_back
#define I puts("bug")
using namespace std;
typedef long long ll;
const int M = 200005;
const int INF = 1000000009;
const double eps = 1e-7;
const double pi = acos(-1);
const ll mod = 1e9+7;
ll read()
{
ll ans = 0,op = 1;char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') op = -1;ch = getchar();}
while(ch >= '0' && ch <= '9') ans = ans * 10 + ch - '0',ch = getchar();
return ans * op;
}
ll n,p[M],tot;
bool np[M];
ll phi(ll x)
{
ll ans = x,m = sqrt(x);
rep(i,2,m) if(!(x % i)) {ans = ans - ans / i; while(!(x%i)) x /= i;}
if(x > 1) ans = ans - ans / x;
return ans;
}
ll calc(ll x)
{
ll cur = 0;
for(int i = 1;(ll)i * i < x;i++) if(x % i == 0) cur += (ll)i * phi(x/i) + (ll)(x/i) * phi(i);
if((ll)sqrt(x) * sqrt(x) == x) cur += (ll)sqrt(x) * phi(sqrt(x));
return cur;
}
int main()
{
n = read();
printf("%lld\n",calc(n));
return 0;
}