51nod1237 最大公约数之和 V3

画柿子

　　
　　以上是开个玩笑
　　

$$ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)\\ =\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}[gcd(i,j)=1]\\ =\sum_{d=1}^n(2\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\varphi(i)-1)$$
令 $\phi(n)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)$
$$ans=2\sum_{i=1}^n\phi({\lfloor\frac{n}{i}\rfloor})-\frac{n(n+1)}{2}$$
　　然后就成了求 $\sum_{i=1}^n\phi({\lfloor\frac{n}{i}\rfloor})$
　　只需要杜教筛 $\phi(n)$，那些值就自动求出来了
　　一定要注意别爆 $long\ long$
　　一定要注意别爆 $long\ long$
　　一定要注意别爆 $long\ long$
　　重要的事情说三遍

代码

//杜教筛
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define maxn 4700000
#define mod 1000000007ll
using namespace std;
typedef long long ll;
ll N, f[maxn+10], phi[maxn+10];
int prime[maxn+10];
bool mark[maxn+10];
void init()
{
    int i, j;
    phi[1]=1;
    for(i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(!mark[i])prime[++*prime]=i, phi[i]=i-1;
        for(j=1;i*prime[j]<maxn;j++)
        {
            mark[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
    for(i=1;i<maxn;i++)phi[i]=(phi[i]+phi[i-1])%mod;
}
ll getf(ll x){return x<maxn?phi[x]:f[N/x];}
ll s(ll x)
{
    ll a=x&1?x:x>>1, b=x&1?1+x>>1:1+x;
    return (a%mod)*(b%mod)%mod;
}
void djs(ll n)
{
    if(n<maxn or getf(n))return;
    ll i, t=N/n, last;
    f[t]=s(n);
    for(i=2;i<=n;i=last+1)
    {
        last=n/(n/i);
        djs(n/i);
        f[t]=(f[t]-(last-i+1)%mod*getf(n/i))%mod;
    }
}
int main()
{
    ll i, last, ans=0;
    scanf("%lld",&N);
    init();
    djs(N);
    for(i=1;i<=N;i=last+1)
    {
        last=N/(N/i);
        ans=(ans+(s(last)-s(i-1))*getf(N/i))%mod;
    }
    ans=((ans<<1)-s(N))%mod;
    printf("%lld",(ans+mod)%mod);
    return 0;
}