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问题
在现实中经常遇到这样的需求：
给一个较长的串T，长n，和一个较短的串P，长m，设计算法判断P中是否包含T，若有，返回T中和P匹配的子串起点的下标。
蛮力算法
最容易想到的就是两个串头部对齐，两个指针i、j表示T和P中进行匹配的元素的下标（初始化为0），逐个元素比对，遇到比对失败（称这种情况为失配）则将P右移一步（P的滑动是通过指针的回退实现的，i每次回退到对齐位置的下一格，j每次回到0），再重新开始匹配，直到找到T中匹配的子串（匹配成功）或直到T头部到n-m处的情况下（可能匹配的最后位置）还出现失配（匹配失败），算法结束。代码如下
public int bruteForce(char [] T, char [] P) {
int n = T.length, m = P.length;
int i = 0, j = 0;
while(i < m && j < n) {
if(T[i] == P[j]) {
i++; j++;
}else {
i -= j - 1;//每次回退j都回到0， 失配时走了j步
j = 0;
}
}
return i - j;//i-j就是对齐的位置
}这种算法简单粗暴，逐次比对，被称为蛮力算法。表现与数据情况有关：字符集越小，局部匹配的概率就越大，回退次数就越多，浪费掉的运算就越多。不难看出蛮力算法的时间复杂度是O(n*m)。有没有更快的方法呢？
KMP算法-主算法
我们观察一下蛮力算法匹配的过程。每一次失配，都要把j回退到0重新匹配，每一次都是新的开始。而前面虽然有局部匹配的前缀，但是信息都被丢弃掉了，进行了大量的无效运算。如果能充分利用失配时局部匹配的信息，就能大幅加快匹配的速度。比如图中的情况
这种情况属于“对于P的真前缀P[0 , j)，存在长度为 t 的真前缀P[0 , t)和真后缀P[j - t , j)完全匹配，且 t 是满足条件的最大长度”。同时，因为t时长度为j的子串P[0 , j)的真前缀、真后缀的长度，所以t < j。
再看一下示意图，参与比对的T[i - j, i)和P[0 , j)是完全相同的，在P向右逐步滑动的过程中，任何时刻有两种可能：P和T[i - j, i)对齐的部分完全匹配 or 不完全匹配。对于完全匹配的情况，就可以跳过T[i - j, i)从T[i]开始进行比对；而不完全匹配的情况则一定存在失配，需要继续滑动，也就没有研究的必要。所以，我们的目标就是跳过不完全匹配的情况，从而加快匹配速度。
而“对于P的真前缀P[0 , j)，存在长度为 t 的真前缀P[0 , t)和真后缀P[j - t , j)完全匹配，且 t 是满足条件的最大长度”就是解决问题的关键。在这种情况下，可以通过向右滑动P，把令P[0 , t)占据P[j - t , j)的位置，P[0 , t) == P[j - t , j)、P[j - t , j) == T[j - t , j)，此时P[0 , t)和T[j - t , j)必然是完全匹配的，可以直接省略这一段，直接从刚刚失配的T[i]（即P[t]）开始继续比对。代码主体如下：
public int kmp(char [] T, char [] P) {
int n = T.length, m = P.length;
int i = 0, j = 0;
int [] next = makeNext(P);
while(j < m || i < n) {
if(j < 0 || T[i] == P[j]) {//j<0一定要写在前面,具体意思暂时不用明白，下面会讲
i++; j++;
}else {
j = next[j];
}
}
return i - j;
} KMP算法-生成next表
要实现“令P[0 , t)占据P[j - t , j)的位置”，那么当任意P[j]失配时，必须知道现在P要滑动到什么位置，也就是指针j要回退到什么位置。方法是：构建一个next表，在里面保存在P的每个下标位置失配的时候，j要回退到的位置。
再次说明next表中元素的含义。对于任一 next[j] = t，表示“对于P的真前缀P[0 , j)，存在长度为 t 的真前缀P[0 , t)和真后缀P[j - t , j)完全匹配，且 t 是满足条件的最大长度”。 P[t]正是上述前缀的下一个元素。
在对比时，有两种可能：P[j] == P[next[j]] 、P[j] ！= P[next[j]]。
当P[j] == P[next[j]]，很自然地将t增加1，next[j + 1] = next[j] + 1。
当P[j] != P[next[j]]，要找到下一个尽可能长，可以对齐一部分P的比对位置。也就是说找到在当前的P[0 , j)上自匹配的真前缀和真后缀换过来。目标位置就是next[j]。如果再不行，就是next[next[j]]，以此类推，和主算法的思路是一样的。事实上生成next表的过程就是P自身对子串进行匹配的过程。t < j，故next[j]一定在 j 前面，所以可以用递推法生成next表，。
public int[] makeNext(char[] P) {
int m = P.length;
int [] next = new int[m];
int j = 0, t = -1;
next[0] = t;
while(j < m - 1) {
if(t < 0 || P[t] == P[j]) {//如果比对成功
next[j] = t;
}else {
t = next[t];
}
}
return next;
}解释一下代码。为什么t的初始值为-1？这个算法假象地在P[0]的前面放置了一个可以和任何元素匹配的通配符 * ，秩为-1，这里用t < 0表示和通配符比对成功，(t < 0 || P[t] == P[j]) 就是所有比对成功的情况。有了这个通配符，就可以开始递推next表下面的每一个t了，每一次比较在最坏情况下也会在-1位置和这个通配符比对成功。
KMP算法-复杂度分析
设置一个观察值k = 2 * i - j。
对于主算法，k初值为0，单调递增，每次迭代不管进入哪种分支，k都递增1(i、j同时+=1 或 i不变j+=1)，所以k可以用来指示迭代次数。i最大为 n-1， j最小为 -1。当算法结束，有 k <= 2(n - 1) - (-1)。时间复杂度O(n)。
生成next表的过程和主算法思路相似，不难得出时间复杂度O(m)。
所以整体的复杂度为O(n+m)，线性复杂度，比O(n*m)的蛮力算法快得多。
KMP算法-next表改进
上面的算法已经很快了，但还有改进余地。想象一下这种情况
用上面的makeNext()，这个P的next表为{-1, 0, 1, 2, 3}。令P按照这样的规则滑动，我们会发现重复的元素0被多次用来和1进行比对，这让算法退化到了蛮力算法的水平。
而既然已经知道了0和1不匹配，完全可以就不再让和0相同的元素被拿来同已知和0不匹配的元素1进行比对。也就是说，即使不能保证下一个对齐上来和T[i]比对的元素一定等于T[i]，起码要保证它一定不等于当前的P[j]。
public int[] makeBetterNext(char[] P) {
int m = P.length;
int [] next = new int[m];
int j = 0, t = -1;
next[0] = t;
while(j < m - 1) {
if(t < 0 || P[t] == P[j]) {
++j; ++t;
next[j] = P[j] != P[t]? t: next[t]; //next表相邻两元素一定不同，除非是两个-1
}else {
t = next[t];
}
}
return next;
}这样改动之后，避免了很多明知不可能成功却“以卵击石”的尝试，算法的效率得到进一步提高。