LeetCode96. 不同的二叉搜索树

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

题目分析：假设a[i-1]表示有1...(i-1)个节点组成的二叉搜索树的种类数，那么我们如何求a[i]呢？

求解a[i]可以分为以下几种情况：

第一种情况，根节点为1，那么左子树必定为空，右子树为2...i个节点，那么种类数为1*a[i-1]，也可以表示为a[0]*a[i-1]，即左边0个节点的情况，右边有i-1个节点的情况，它们之间是乘的关系。

第二种情况，根节点为2，那么左子树节点为1，右子树为3...i个节点，即a[1]*a[i-2]

第三种情况，根节点为3，那么左子树节点为1，2，右子树为4...i个节点，即a[2]*a[i-3]

...

故a[i]的表达式为a[i] = a[0]*a[i-1] + a[1]*a[i-2] + a[2]*a[i-3] + ... + a[i-1]*a[0]

代码展示：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> vec(n+1);
        vec[0] = 1;
        vec[1] = 1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            for(int j=0;j<i;j++)
                vec[i] += vec[j]*vec[i-j-1];
        return vec[n];
    }
};