● 每周一言
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导语
在分析样本数据情况时，都需要看一看方差。在概率统计学中，方差是衡量数据离散程度的一种度量，样本的方差越大，样本间的偏离程度就越大，反之越小。而在数据量巨大或者较难获得总体样本时，按照方差标准公式计算出来的实际方差，通常并非样本的真实方差。
因此，为了保证无偏计算，大数据量下用采样数据计算方差时，是除以n-1而不是n。那么，为什么除以n-1就能保证计算出来的方差是真实方差？
方差
在详细推导过程前，我们先明确以下几个数学符号的概念。n表示可采样的样本数量，xi表示样本数据，x拔表示样本均值，μ表示样本的真实均值，S平方表示样本实际方差，σ平方表示样本真实方差，D(x)表示随机变量x的方差。
根据方差的标准计算公式，有如下推导：
上式第一个比较关键的变换是第四行到第五行。由于第四行中间式子的后半段是样本数据累加，因此可以把xi替换成x拔，使累加结果不改变。
此外，由于μ和x拔在既定样本集上是固定的，第三行到第四行和第五行到第六行的推导，可以这样把 (μ - x拔) 先提出来又放进累加操作。
第二个比较关键的变换是平均数x拔的方差，是样本方差的n分之一。这个可以利用方差变换公式来推导，如下：
这里解释一下为什么每一个样本xi的方差，都等于样本的总体方差。
样本xi代表所有可能出现的情况，每一个x1、x2、x3…都分别可以看作是一个随机变量，而这些随机变量之间没有差别，其分布也跟样本总体分布相同，所以它们的方差自然也是相同的。
上面的推导是针对一维数据的方差推导，当然，推广到多维数据也是同样适用的。
这里顺便介绍一下多维数据的方差，多维数据的方差称为 协方差。协方差是衡量样本数据不同维度之间变化关系的度量，具体计算公式如下：
虽然叫协方差，但是意义和方差不同。协方差大于0表示X和Y正相关，小于0则表示负相关，等于0则不相关，值越大或越小表示它们的相关程度越高。协方差还能得出皮尔森相关系数的计算公式。
在多维数据情况下，通常使用协方差矩阵来表示不同维度之间的协方差。
以上便是方差的讲解，敬请期待下节内容。
结语
感谢各位的耐心阅读，后续文章于每周日奉上，敬请期待。欢迎大家关注小斗公众号 对半独白！
