[bzoj1233][Usaco2009Open][DP]干草堆tower

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Description

奶牛们讨厌黑暗。 为了调整牛棚顶的电灯的亮度，Bessie必须建一座干草堆使得她能够爬上去够到灯泡
。一共有N大包的干草（1<=N<=100000）(从1到N编号)依靠传送带连续的传输进牛棚来。第i包干草有一个
宽度W_i(1<=w_i<=10000)。所有的干草包的厚度和高度都为1.
Bessie必须利用所有N包干草来建立起干草堆，并且按照他们进牛棚的顺序摆放。她可以相放多少包就放
多少包来建立起tower的地基（当然是紧紧的放在一行中）。接下来他可以放置下一个草包放在之前一级
的上方来建立新的一级。注意：每一级不能比下面的一级宽。她持续的这么放置，直到所有的草包都被安
置完成。她必须按顺序堆放，按照草包进入牛棚的顺序。说得更清楚一些：一旦她将一个草包放在第二级 ，她不能将接下来的草包放在地基上。
Bessie的目标是建立起最高的草包堆。

Input

第1行：一个单一的整数N。 第2~N+1行：一个单一的整数:W_i。

Output

第一行：一个单一的整数，表示Bessie可以建立的草包堆的最高高度。

Sample Input

3

1

2

3

Sample Output

2

HINT

输出说明：

前两个（宽度为1和2的）放在底层，总宽度为3，在第二层放置宽度为3的。

       +----------+

       |    3     |

       +---+------+

       | 1 |   2  |

       +---+------+

题解

这种题都没想到高端暴力我退役吧
$n^3$的暴力随便搞，考虑如何降复杂度
从前往后递推发现答案不具有单调性，那换一边不就有了嘛。。。
首先有一个结论：最高的草堆一定可以组成最下一层尽量小的情况
从后往前递推，设f[i]表示i~n组草堆底下最少的宽度,g[i]表示这个草堆的高度,sum[i]表示前缀和
愉快写出方程

$$f[i]=min(sum[j-1]-sum[i-1])(f[j]<=sum[j-1]-sum[i-1])$$
显然j取第一个满足的j即可，如此可以降到 $n^2$
对转移条件移项，有 $sum[i-1]<=sum[j-1]-f[j]$
对于任意 $k>j$，如果有 $sum[k-1]-f[k]<=sum[j-1]-f[j]$，由于枚举过程sum单调递减，故k永远不比j优
单调队列维护一下

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
LL s[100005],f[100005];
int n,a[100005],g[100005],li[100005],head,tail;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),s[i]=s[i-1]+(LL)a[i];
    li[1]=n+1;head=tail=1;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        while(head<tail && s[li[head+1]-1]-s[i-1]>=f[li[head+1]])head++;
        f[i]=s[li[head]-1]-s[i-1];g[i]=g[li[head]]+1;
        while(head<=tail && s[li[tail]-1]-f[li[tail]]<=s[i-1]-f[i])tail--;
        li[++tail]=i;
    }
    printf("%d\n",g[1]);
    return 0;
}