去年听数一聚聚讲的线性筛，但是之前只记了板子，也没有对其进行过深入思考。
模板：
bool notprime[N];
int cnt,prime[N];
void init(){
notprime[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++){
if(!notprime[i]){
prime[cnt++]=i;
}
for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<N;j++){
notprime[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0){
break;
}
}
}
}
最近发现很多人对线性筛的break有疑问——虽然此前我自己也一知半解，只记得数一聚聚强调过，加上这个才使得这个筛法是线性的——然后就略微琢磨了一下break的妙处。
当然更具体的原因是我用线性筛写的 https://blog.csdn.net/qq_38515845/article/details/82292071 这道题的题解下面有童鞋提问了，因此思索了一会儿才给出了解释。
“首先可以知道每个合数都无法避免被它最小的素因子筛一次——因为是从小到大枚举的素数，而break是为了保证每个数只被筛一次，比如i=4,prime[j]=2时如果不break，x=i*prime[j+1到cnt-1]都会在这里被筛一次，但是因为i是prime[j]的倍数，那么这些数也一定是prime[j]的倍数，因此一定会在后面被prime[j]筛一次，所以就没必要多筛了。”
这是我的回答，其实已经很详细了。
再略微展开一点点，详细一点点。
首先，我们是怎么筛掉合数的呢？假设要筛掉1到N范围内的所有合数，首先枚举的是最外层的i从2到N，如果枚举到i时发现i没有被筛掉，则说明i为素数，存到prime数组同时cnt++。然后，对于每个i，再通过从小到大枚举当前已知的素数，筛掉这些素数的i倍，假设没有break，这样显然可以筛掉指定范围内的所有合数，因为每个合数都一定可以表示为一个素因子和另一个数相乘的形式，而每个素数的所有在N范围内的倍数的数都被筛了，即所有1到N范围内的合数都被筛掉了。
没有break的缺点是很显然的——绝大部分合数都被筛了不只一遍，比如12会在i=4,prime[j]=3时筛一次，还会在i=6,prime[j]=2时被筛一次。
那么怎么才能做到使每个合数只被筛一次呢？这就是break的妙处了。
我们可以做到让合数x只被它的最小的素因子筛来实现 "线性" ：当i%prime[j]==0即i是prime[j]的倍数时，i乘以任何大于prime[j]的素数都会是prime[j]的倍数，因此我们可以保证它们会在之后被它们最小的素因子prime[j]给筛掉。（这里纠正一下我的原评论，被最小的素因子筛说是保证只被筛一次的手段应该更加确切）
线性筛还是很好用的，积性函数、打素数表什么的常用到它。