线性筛素数

先来说一说N方筛素数

  a[1]=1;

for (int i=2;i<=n;i++)
{
    if (a[i]==0)
    for (int j=2;j<=n/i;j++)
    a[i*j]=1;

}

线性筛素数和N方筛素数最大的差别就在于线性筛素数可以同过i%prime[j]来达到线性，其本质的思想就是用最小质因数来筛。

先上代码：

a[1]=1;pri=0;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
    if (!a[i])
    prime[++pri]=i;
    for (int j=1;j<=pri && i*prime[j]<=n;j++)
    {
        a[i*prime[j]]=1;
        a[1]=1;pri=0;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!a[i])
        prime[++pri]=i;
        for (int j=1;j<=pri && i*prime[j]<=n;j++)
        {
            a[i*prime[j]]=1;
            if (!(i%prime[j]))break;
        }
    }
}

证明一下下面这段代码的正确性

if (!(i%prime[j]))break;

对于任意数正数A，若A=x*y（其中x为素数，y为合数）

                 且y=a*b（其中a为素数）

如果a<x则有A=x*a*b=a*Z（Z=a*b）

也就是说一个合数如果可以分解为一个质数与一个合数，而且它可以分解为一个跟小的质数和一个更大的合数，那么我们会用更小的那个素数来筛出合数，即A是由a筛出来的而不是x，所以当i是一个质数a的倍数时会退出循环，因为这次扩展出的合数会在以后选到，比如：20不是由5筛出来的，而是由2筛出来的。