二元正态分布的概率密度函数

二元正态分布随机变量

如果随机变量 $X$、 $Y$的联合PDF为
$p_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma_x \sigma_Y \sqrt{1-p^2}}\exp\left\{-\frac{\frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2}+\frac{(y-\mu_Y)^2}{\sigma_Y^2}-\frac{2\rho(x-\mu_X)(y-\mu_Y)}{\sigma_X\Sigma_Y}}{2(1-\rho^2)}\right\}$
则称 $X$、 $Y$满足二元正态分布,其中 $X \sim N(\mu_X,\sigma_X^2)，Y \sim N(\mu_Y,\sigma_Y^2)$，协方差 $C_{XY}={\rm E}\{XY\}-\mu_X\mu_Y$，相关系数 $\rho=\frac{C_{XY}}{\sigma_X\sigma_Y}$。

进一步进行归一化处理，设
$V=\frac{X-\mu_x}{\sigma_X},\ W=\frac{Y-\mu_Y}{\sigma_Y}$
则有
$p_{V,W}(v,w)=\frac{1}{2\pi \sqrt{1-\rho^2}}\exp \{-\frac{v^2-2\rho v w+w^2}{2(1-\rho^2)}\}.$

下面来求 $V,W$的条件PSD。由于
$v^2+w^2-2\rho vw=(w-\rho v)^2+v^2(1-\rho^2)$
因此
$p_{V,W}(v,w)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} }\exp\left\{-\frac{v^2}{2}\right\}\frac{1}{\sqrt{2\pi(1-p^2)}}\exp\left\{-\frac{(w-\rho v)^2}{2(1-\rho^2)}\right\}$
进一步，我们有
$p_V(v)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} } \exp\left\{-\frac{v^2}{2}\right\}$
故
$p_{W|V}(w|v)=\frac{1}{\sqrt{2\pi(1-\rho^2)}}\exp\left\{-\frac{(w-\rho v)^2}{2(1-\rho^2)}\right\}.$
所以
${\rm E}[W|V]=\rho v,\sigma_{W|V}^2=1-\rho^2.$

我们再来看X、Y的条件PSD，因为
$p_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma_X \sigma_Y \sqrt{1-p^2}}\exp\left\{-\frac{\frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2}+\frac{(y-\mu_Y)^2}{\sigma_Y^2}-\frac{2\rho(x-\mu_X)(y-\mu_Y)}{\sigma_X\sigma_Y}}{2(1-\rho^2)}\right\}\\ =\frac{1}{2\pi \sigma_X \sigma_Y \sqrt{1-p^2}}\exp\left\{-\frac{v^2+w^2-2\rho vw}{2(1-\rho^2)}\right\}\\ =\frac{1}{2\pi \sigma_X \sigma_Y \sqrt{1-p^2}}\exp\left\{-\frac{v^2}{2}\right\}\exp\left\{-\frac{(w-\rho v)^2}{2(1-\rho^2)}\right\}\\ =\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma_X }\exp\left\{-\frac{v^2}{2}\right\}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_Y \sqrt{1-p^2}}\exp\left\{-\frac{(w-\rho v)^2}{2(1-\rho^2)}\right\}\\ =\frac{1}{\sigma_x}p_X(x)\frac{1}{\sigma_y}p_{Y|X}(y|x)$
故有
$p_{Y|X}(y|x)=\sigma_Y\cdot p_{W|X}(w|x).$