高斯分布概率密度函数积分推导

高斯分布：

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})                               (1)$

标准高斯分布：

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{x^{2}}{2})$

 

一个高斯分布只需线性变换即可化为标准高斯分布，所以只需推导标准高斯分布概率密度的积分：

$\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{x^{2}}{2})dx = \int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{y^{2}}{2})dy$

则有:

$\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{x^{2}}{2})dx\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi } }exp(-\frac{y^{2}}{2})dy = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{+\infty }exp(-\frac{(x^{2}+y^{2})}{2})dx$