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预备知识
Γ \Gamma Γ函数（伽马函数）
- 定义： Γ ( s ) = ∫ 0 + ∞ e − t t s − 1 d t \Gamma(s)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}t^{s-1}\text{d}t Γ(s)=∫0+∞e−tts−1dt
- 递推公式： Γ ( s + 1 ) = s Γ ( s ) , ( s > 0 ) \Gamma(s+1)=s\Gamma(s),\space(s>0) Γ(s+1)=sΓ(s), (s>0)
- 几个重要的值： Γ ( 1 ) = 1 \Gamma(1)=1 Γ(1)=1， Γ ( 1 2 ) = π \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} Γ(21)=π
标准正态分布
- 概率密度函数： φ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} φ(x)=2π1e−2x2
- 分布函数： ϕ ( x ) = ∫ − ∞ x 1 2 π e − t 2 2 d t \phi(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}\text{d}t ϕ(x)=∫−∞x2π1e−2t2dt
卡方分布
- 概率密度函数： p ( x ) = { 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) e − x 2 x n 2 − 1 , x > 0 0 , x ⩽ 0 p(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}, & x>0 \\ 0, & x\leqslant 0 \end{array}\right. p(x)={ 2n/2Γ(n/2)1e−2xx2n−1,0,x>0x⩽0
推导目标
已知 X X X服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)， Y Y Y服从卡方分布 χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n)，且 X X X与 Y Y Y相互独立。
求 T = X Y / n T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}} T=Y/nX的概率密度函数。
引理：连续型随机变量商的分布
设 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维随机变量，其联合密度函数为 p ( x , y ) p(x,y) p(x,y)，则 Z = X / Y Z=X/Y Z=X/Y的密度函数 p Z ( z ) p_{Z}(z) pZ(z)满足
p Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ p ( z y , y ) ∣ y ∣ d y 。 p_{Z}(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}p(zy, y)|y|\text{d}y \thinspace。 pZ(z)=∫−∞+∞p(zy,y)∣y∣dy。
证明
使用分布函数法，先求 Z Z Z的分布函数，再对分布函数求导得到 p Z ( z ) p_{Z}(z) pZ(z)。
对 z z z的正负性进行讨论，得到积分区域如下图中阴影部分所示。
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我们发现这两种情况可以合并，积分区域均为 { ( y , x ) ∣ y < 0 ∧ x ⩾ z y } \{(y,x) \space|\space y<0 \space\wedge\space x\geqslant zy\} {
(y,x) ∣ y<0 ∧ x⩾zy} ∪ \space\cup\space ∪ { ( y , x ) ∣ y > 0 ∧ x ⩽ z y } \{(y,x) \space|\space y>0 \space\wedge\space x\leqslant zy\} {
(y,x) ∣ y>0 ∧ x⩽zy}。于是有
F Z ( z ) = P ( Z < z ) = P ( X Y < z ) = ∫ − ∞ 0 d y ∫ y z + ∞ p ( x , y ) d x + ∫ 0 + ∞ d y ∫ − ∞ y z p ( x , y ) d x = x = u y ∫ − ∞ 0 d y ∫ z + ∞ p ( u y , y ) y d u + ∫ 0 + ∞ d y ∫ − ∞ z p ( u y , y ) y d u = ∫ z + ∞ d u ∫ − ∞ 0 p ( u y , y ) y d y + ∫ − ∞ z d u ∫ 0 + ∞ p ( u y , y ) y d y 。 \begin{aligned} F_{Z}(z) &\space\space=\space\space P(Z<z) \\ &\space\space=\space\space P(\frac{X}{Y}<z) \\ &\space\space=\space\space \int_{-\infty}^{0}\text{d}y\int_{yz}^{+\infty}p(x,y)\text{d}x + \int_{0}^{+\infty}\text{d}y\int_{-\infty}^{yz}p(x,y)\text{d}x \\ &\overset{x=uy}{=} \int_{-\infty}^{0}\text{d}y\int_{z}^{+\infty}p(uy,y)y\text{d}u + \int_{0}^{+\infty}\text{d}y\int_{-\infty}^{z}p(uy,y)y\text{d}u \\ &\space\space=\space\space \int_{z}^{+\infty}\text{d}u\int_{-\infty}^{0}p(uy,y)y\text{d}y + \int_{-\infty}^{z}\text{d}u\int_{0}^{+\infty}p(uy,y)y\text{d}y \thinspace。 \end{aligned} FZ(z) = P(Z<z) = P(YX<z) = ∫−∞0dy∫yz+∞p(x,y)dx+∫0+∞dy∫−∞yzp(x,y)dx=x=uy∫−∞0dy∫z+∞p(uy,y)ydu+∫0+∞dy∫−∞zp(uy,y)ydu = ∫z+∞du∫−∞0p(uy,y)ydy+∫−∞zdu∫0+∞p(uy,y)ydy。因此
p Z ( z ) = F Z ′ ( z ) = − ∫ − ∞ 0 p ( z y , y ) y d y + ∫ 0 + ∞ p ( z y , y ) y d y = ∫ − ∞ + ∞ p ( z y , y ) ∣ y ∣ d y 。 \begin{aligned} p_{Z}(z) &= F_{Z}'(z) \\ &= -\int_{-\infty}^{0}p(zy,y)y\text{d}y + \int_{0}^{+\infty}p(zy,y)y\text{d}y \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}p(zy,y)|y|\text{d}y \thinspace。 \end{aligned} pZ(z)=FZ′(z)=−∫−∞0p(zy,y)ydy+∫0+∞p(zy,y)ydy=∫−∞+∞p(zy,y)∣y∣dy。
推导过程
先计算 W = Y / n W=\sqrt{Y/n} W=Y/n的概率密度函数 p W ( w ) p_{W}(w) pW(w)
同样地，我们使用分布函数法。当 w ⩽ 0 w\leqslant 0 w⩽0时，注意到 W = Y / n W=\sqrt{Y/n} W=Y/n恒为非负，所以 P ( W < w ) = 0 P(W<w)=0 P(W<w)=0，从而 p W ( w ) = 0 p_{W}(w)=0 pW(w)=0。下面针对 w > 0 w>0 w>0的情况进行计算。
F W ( w ) = P ( W < w ) = P ( Y < n w 2 ) = ∫ 0 n w 2 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) e − x 2 x n 2 − 1 d x 。 \begin{aligned} F_{W}(w) &= P(W<w) \\ &= P(Y<nw^2) \\ &= \int_{0}^{nw^2}\frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}\text{d}x \thinspace。 \end{aligned} FW(w)=P(W<w)=P(Y<nw2)=∫0nw22n/2Γ(n/2)1e−2xx2n−1dx。求导得
p W ( w ) = F W ′ ( w ) = 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) e − n w 2 2 ( n w 2 ) n 2 − 1 ⋅ 2 n w = 1 Γ ( n / 2 ) 2 1 − n 2 n n 2 e − n w 2 2 w n − 1 。 \begin{aligned} p_{W}(w) &= F_{W}'(w) \\ &= \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}e^{-\frac{nw^2}{2}}(nw^2)^{\frac{n}{2}-1}\cdot 2nw \\ &= \frac{1}{\Gamma(n/2)}2^{1-\frac{n}{2}}n^{\frac{n}{2}} e^{-\frac{nw^2}{2}}w^{n-1} \thinspace。 \end{aligned} pW(w)=FW′(w)=2n/2Γ(n/2)1e−2nw2(nw2)2n−1⋅2nw=Γ(n/2)121−2nn2ne−2nw2wn−1。综上，有
p W ( w ) = { 1 Γ ( n / 2 ) 2 1 − n 2 n n 2 e − n w 2 2 w n − 1 , w > 0 0 , w ⩽ 0 。 p_{W}(w) = \left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{\Gamma(n/2)}2^{1-\frac{n}{2}}n^{\frac{n}{2}} e^{-\frac{nw^2}{2}}w^{n-1}, & w>0 \\ 0, & w\leqslant 0 \end{array}\right. \thinspace。 pW(w)={
Γ(n/2)121−2nn2ne−2nw2wn−1,0,w>0w⩽0。
再计算 T = X W T=\frac{X}{W} T=WX概率密度函数 p T ( t ) p_{T}(t) pT(t)
因为 X X X与 Y Y Y相互独立，所以 X X X与 W = Y / n W=\sqrt{Y/n} W=Y/n也相互独立，于是 ( X , W ) (X,W) (X,W)的联合概率密度函数 p ( x , w ) p(x,w) p(x,w)满足
p ( x , w ) = p X ( x ) p W ( w ) 。 p(x,w) = p_{X}(x)p_{W}(w) \thinspace。 p(x,w)=pX(x)pW(w)。再根据引理，我们有
p T ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ p ( t w , w ) ∣ w ∣ d w = ∫ − ∞ + ∞ p X ( t w ) p W ( w ) ∣ w ∣ d w = ∫ 0 + ∞ p X ( t w ) p W ( w ) w d w = ∫ 0 + ∞ 1 2 π e − t 2 w 2 2 ⋅ 1 Γ ( n 2 ) 2 1 − n 2 n n 2 e − n w 2 2 w n − 1 ⋅ w d w = 1 π ⋅ Γ ( n 2 ) 2 1 − n 2 n n 2 ∫ 0 + ∞ e − n + t 2 2 w 2 w n d w = w = 2 z n + t 2 1 π ⋅ Γ ( n 2 ) 2 1 − n 2 n n 2 ⋅ 1 2 ( 2 n + t 2 ) n + 1 2 ∫ 0 + ∞ e − z z n − 1 2 d z = Γ ( n + 1 2 ) π ⋅ Γ ( n 2 ) ⋅ n n 2 ( 1 n + t 2 ) n + 1 2 = Γ ( n + 1 2 ) n π ⋅ Γ ( n 2 ) ( 1 + t 2 n ) − n + 1 2 。 \begin{aligned} p_{T}(t) &\quad\space\,=\quad\space\, \int_{-\infty}^{+\infty}p(tw, w)|w|\text{d}w \\ &\quad\space\,=\quad\space\, \int_{-\infty}^{+\infty}p_{X}(tw)p_{W}(w)|w|\text{d}w \\ &\quad\space\,=\quad\space\, \int_{0}^{+\infty}p_{X}(tw)p_{W}(w)w\text{d}w \\ &\quad\space\,=\quad\space\, \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2w^2}{2}}\cdot \frac{1}{\Gamma(\frac{n}{2})}2^{1-\frac{n}{2}}n^{\frac{n}{2}} e^{-\frac{nw^2}{2}}w^{n-1}\cdot w\text{d}w \\ &\quad\space\,=\quad\space\, \frac{1}{\sqrt{\pi}\cdot \Gamma(\frac{n}{2})}2^{\frac{1-n}{2}}n^{\frac{n}{2}} \int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{n+t^2}{2}w^2}w^n\text{d}w \\ &\overset{w=\sqrt{\frac{2z}{n+t^2}}}{=} \frac{1}{\sqrt{\pi}\cdot\Gamma(\frac{n}{2})}2^{\frac{1-n}{2}}n^{\frac{n}{2}}\cdot \frac{1}{2}(\frac{2}{n+t^2})^{\frac{n+1}{2}} \int_{0}^{+\infty}e^{-z}z^{\frac{n-1}{2}}\text{d}z \\ &\quad\space\,=\quad\space\, \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi}\cdot \Gamma(\frac{n}{2})}\cdot n^{\frac{n}{2}}(\frac{1}{n+t^2})^{\frac{n+1}{2}} \\ &\quad\space\,=\quad\space\, \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\cdot \Gamma(\frac{n}{2})} (1+\frac{t^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}} \thinspace。 \end{aligned} pT(t) = ∫−∞+∞p(tw,w)∣w∣dw = ∫−∞+∞pX(tw)pW(w)∣w∣dw = ∫0+∞pX(tw)pW(w)wdw = ∫0+∞2π1e−2t2w2⋅Γ(2n)121−2nn2ne−2nw2wn−1⋅wdw = π⋅Γ(2n)1221−nn2n∫0+∞e−2n+t2w2wndw=w=n+t22zπ⋅Γ(2n)1221−nn2n⋅21(n+t22)2n+1∫0+∞e−zz2n−1dz = π⋅Γ(2n)Γ(2n+1)⋅n2n(n+t21)2n+1 = nπ⋅Γ(2n)Γ(2n+1)(1+nt2)−2n+1。推导完毕。