【详解】快速幂&龟速乘&快速乘

我相信进来看的人都会快速幂，对吧（和善的眼神）

如果不会。。。。那我们现在开始讲吧（要不然为什么叫详解2333 ）

如果已经知道，就跳到下面去看吧~

1. 快速幂

1.0 快速幂的诞生——最初的思路

我们通常需要求解形如 a^b mod c 的式子，当b比较小的时候，我们通常可以想到用循环乘来解决这个问题，就像这样：

long long a,a1,b,c;
cin>>a>>b>>c;
a1=a;
for(int i=1;i<=b;i++)
a*=a1,a%=c;
cout<<a;

显然这个的时间复杂度是O（b）的，在平时基本够用了。

不过在某些大型的数据结构题里面（比如无良的线段树 ），这样的计算随处可见，假设那个b大一点，比如1e7,1e8之类的，然后再重复上几百几千次……

比如这个例子：

23333 123456787654321 19260817

你可以试着拿刚才那个循环跑一下（微笑）

如果你把数据中的b换成123454321，也就只需要跑2.8s而已（微笑x2）

所以，正是为了解决这样的问题，快速幂出现了。

1.1 快速幂的根据——二进制

没错，快速幂和我们的老朋友二进制又扯上关系了。

其主要原因是因为二进制一个很重要的性质，就是当十进制转化为二进制，会出现很有趣的地方。

我们来看这两个例子：

11= 8+2+1 =2³+2¹+2⁰
34= 32+2 =2⁵+2¹

如你所见，它们可以拆成很多个2ⁿ的和。这是废话
我们再来看这两个例子:

3¹¹=3⁸ $\times$ 3² $\times$ 3¹
13³⁴=13³² $\times$ 13²

有没有嗅到一丝危险的气息 发现什么有趣的东西?

1.2 快速幂的实现——位运算

如果你已经理解到它与二进制的关系，那么接下来的代码就很容易懂了：

//计算 (x^y)%mod
long long quick_pow(long long x,long long y,long long mod)
{
	long long sum=1;
    while(y!=0){
         if(y&1==1)sum=sum*x%mod;
    	     x=x*x%mod;
         	y=y>>1;
    }
}

（其实从我个人角度来说，一般在初学某个知识点时看到模板里面有位运算会感到头疼。不过，跟二进制相关的一些东西需要例外，因为这样反倒会更加容易理解）

代码看不懂？没关系，我们举个例子就好了，就用上面的3¹¹来说：

1. 开始前：x=3 y=(1011)₂=11;
2. 第一轮：11&1=1,sum=3, x=9, y=(1011>>1)₂=(101)₂=5;
3. 第二轮：5&1=1，sum=27, x=81,y=(101>>1)₂=(10)₂=2;
4. 第三轮：2&1=0，sum=27,x=6561,y=(10>>1)₂=(1)₂=1;
5. 第四轮：1&1=1,sum=177147,x=6561²,y=(1>>1)₂=(0)₂=0;
6. 循环结束，退出，得到sum=3¹¹=177147.

看到了吗？原本循环11次的算法被优化成了循环五次，而且由于与二进制相关联，指数b每一次减少一半，也就是说这个算法的时间复杂度是 O（logN）！log级别的算法代表什么，我不说大家也清楚~

所以，刚才的那个例子你可以拿来试试，博主不懂怎么测程序运行时间，只会加文件输入输出。 在本机上跑只花了0.57s，比起刚才的时间明显是大大优化了。

1.3快速幂总结——二进制大法好

二进制，在我们学习的道路上一直起着很大的用处，无论是加快运行的速度的位运算，或是快速处理前缀和的树状数组，还是今天提到的快速幂，都灵活运用了二进制的特性，从而大大优化了我们处理某些问题时浪费的时间和空间。

没错，快速幂的核心思想就是通过二进制的特有属性，先把次数转化为二进制，然后把那些为1的位（有贡献的）存下来，把为0的位（无贡献的）丢弃。我们之所以要进行这样的循环，就是为了依次处理出那些为1的位，然后累乘到答案里面。

实际上，快速幂的应用范围不止求a^b mod c这一种，矩阵快速幂就是它的一个变式，有兴趣的同学可以去了解一下，在处理很多数学问题时非常有用。
（而且似乎也是考点之一？？）

那么，了解了快速幂的这些思想，我们就要开始挑刺思考它被hack的可能性了。

2.龟速乘

2.0 龟速乘的诞生——快速幂的BUG

假设给你一个a^b mod c的式子，现在的你已经可以说：我能够在log b的时间里算出来！

了吗？（和善的眼神x2）

你确定吗？（和善的眼神x3）

来来来，算一算这个，看看你的快速幂还活着不：

19260817 2333333 1234567654321

（我会说我只是把数字换了下顺序吗）

很好，现在我们找到了快速幂的一个大问题：当模数>1e9的时候，光是在相乘的时候就已经爆long long了。（当然你可以用__int128，不过NOIP似乎不允许 ）

那怎么办？我们不能用快速幂了吗？

事实上想用还是可以的，不过看看标题，你就知道为了适应新的数据范围，我们需要付出什么代价了……

2.1 龟速乘的根据&实现——慢工出细活

比起计算机自带的乘法，龟速乘的的运行速度还要慢上一些。

但是，它可以有效地保证你的long long不会boom的一声炸掉，然后送给你一个神奇的数字。

代码奉上：

long long quick_mul(long long x,long long y,long long mod) 
{
	long long ans=0;
	while(y!=0){
		if(y&1==1)ans+=x,ans%=mod;
		x=x+x,x%=mod;
		y>>=1; 
	}
	return ans;
}

long long quick_pow(long long x,long long y,long long mod)
{
	long long sum=1;
    while(y!=0){
         if(y&1==1)sum=quick_mul(sum,x,mod),sum%=mod;
    	     x=quick_mul(x,x,mod),x%=mod;
         	 y=y>>1;
    }
    return sum;
}

相信你一眼就能看出来，这两个东西长的不是一般的像。

如果再仔细观察一下就会发现，快速幂里的x是指数级增长，而龟速乘变成了翻倍，仅此而已。

2.2 龟速乘总结——快速幂的补充

实际上，龟速乘的确慢，甚至比直接用开始提到的循环乘法还要慢（因为龟速乘相当于一个自行取模的乘号），然而慢工出细活，正是它的慢最终为我们解决了数据过大时产生的问题。

归根结底，龟速乘的出发点就是为了解决弥补快速幂的BUG，因而其思想与快速幂也十分接近。用一点点时间换来数据范围的扩大，想来是个不亏的交易。

当然，平时不担心爆long long的情况下，就没必要把龟速乘加上了~

讲了这么多，我们再看看最上面的标题，
貌似还有个压轴的东西没有讲……

3.快速乘

3.0快速乘的诞生—— 更精练，更简短

人们在研发出上面龟速乘以后，再也不用为了次方运算+取模的题型烦恼了……

然而，总是有人不满足：

就为了这种小问题，要我再多背那么长的模板？我才不干！

（以上纯属yy ）

真相到底是什么我们无从知晓，但我们清楚的是结果：

那就是复杂度为O（1）的，一行可以打完的，快速乘的诞生。

3.1快速乘的根据——long double和long long的转换

这一部分也是刚刚学到，所以我只能找网上的资料了：

这是2009国家集训队论文：
骆可强：《论程序底层优化的一些方法与技巧》 （%%%）

说白了，其实我们就是在原地爆炸的边缘疯狂试探，把本来存进long long会炸掉的值先进行计算，用long double暂时存下，然后再把差值——一个不会超过long long的数字塞回去，再特判一下精度问题，就大功告成了。

所以，在压行之后就变成了这样：

        cin>>a>>b>>mod;
    	cout<<((a*b-(long long)((long double)a*b/mod)*mod+mod)%mod);

简洁明了，速度O（1），不过数值过大时容易造成误差，毕竟long double转换时会有精度上的误差，所以在真正要用的时候，还是建议大家使用龟速乘吧

(不过听说机房大佬dzyo用过几次都没什么事，emmm……)

至此，三种与幂运算相关的算法就全部讲完啦~

（P.S：博主第一篇讲解贴，若有不足敬请指出！顺便谢谢各位观看！）