快速幂、快速乘

快速幂等算法都是基于二进制优化的算法，本文不做过多叙述，在此只是留下模板，并介绍\(O(1)\)快速乘

快速幂

int qpow(int a, int b, int p) {
    int res = 1 % p;
    for (; b; b >>= 1, a = (long long) a * a % p) if (b & 1)
        res = (long long) res * a % p;
    return res;
}

快速乘

#define qword long long
qword qmul(qword a, qword b, qword p) {
    qword res = 0;
    for (; b; b >>= 1, a = a * a % p) if (b & 1)
        res = (res + a) % p;
    return res;
}

\(O(1)\) 快速乘

利用 \(a * b \pmod p = a * b - [a * b / p] * p\)
首先 $ a,b < p $ 时， $ a * b / p $ 一定小于 $ p $ ，我们可以用浮点数进行 $ a * b / p $ 的运算，而不用关心小数点后面的部分。浮点类型long double在十进制下可以储存 $ 18~19 $ 位。
当浮点数的精度不足以保证位数时，它会以科学记数法舍弃低位，这并不会影响我们需要的整数部分的运算
另外，虽然 $ a * b $ 和 $ a * b / p $ 可能很大，但是二者的差一定在 $ 0 ~ p-1 $ 之间，我们只关心它们的较低位数就可以，所以，我们用long long储存 $a * b $ 和 $ [a * b / p] * p $ 各自的结果，整数溢出相当于舍弃最高位，也正好符合我们的要求

#define qword long long
qword mul(qword a, qword b, qword p) {
    a %= p, b %= p;
    qword c = (long double) a * b / p;
    qword ans = a * b - c * p;
    if (ans < 0) ans += p;
    else if (ans >= p) ans -= p;
    return ans;
}