素数，埃式筛，欧拉筛

                                                 素数问题

素数（质数）：除了1和它本身没有其他的因子；

合数：反之

原理：

1.算术基本定理：任何一个大于1的自然数 N,那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积。
2. 若一个数可以进行因数分解，则得到的两个数一定是有一个>=sqrt(x),另一个<=sqrt(x)。

3.1-N内的素数的个数大约是logN。

素数主要有两个基本问题：

1.求1—n中的所有素数

2.判断一个数是否是素数
暴力写法：

#include<bits/stdc++>
#define MAXN 1e5;
bool isprime[MAXN];
bool is_prime(int x)
{
    int flag=0;
    for(int i=2;i<sqrt(x);i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            flag++;
            break;
        }
    }
    if(flag) 
    {
        isprime[x]=false;
        return false;
    }
    else 
    {
        isprime[x]=true;
        return true;
    }
}
 
int init(int N)
{
    int cnt=0;    //记录素数的个数 
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(is_prime(i))
            cnt++;
    }
    return cnt;
}

埃氏筛

埃拉托斯特尼筛法，利用当前已经找到的素数，从后面的数中筛去当前素数的倍数。

原理：每个大于1的正整数n都可以表示成素数之积的形式。所以在1到n中一个数若不是素数，一定会被筛到。

复杂度：O(n*lglgn),近似为O(n)。

缺点：某些数被每个质因子都筛了一遍导致速度减慢。

#define MAXN 1e5
bool isnotprime[MAXN];
int prime[MAXN];
int ant=0;
void init(int N)      //求1到N中所有的素数
{
memset(prime, 0, sizeof(prime));
for(int i =2;i<m;i++)
{
    if (!isnotprime[i])
        {
            prime[ant++]=i;//  prime[0]=2
    for (int k= i*i; k<=N; k+=i)
              isnotprime[k] = 1;
        }

}

欧拉筛

  和埃氏筛法的区别是对于每一个要筛除的数，欧拉筛法只筛除一次。

复杂度：O(n)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=100000+5;
bool isprime[MAXN];//isprime[]表示i是不是质数 
int prime[MAXN], tot;//prime[]用来存质数 
void init(int N)
{
    memset(isprime,true,sizeof(isprime)/sizeof(bool)*N);  //初始化所有的数为质数
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(isprime[i]) 
          prime[tot ++] = i;//把质数存起来 
        for(int j=0;j<tot&&i*prime[j]<=N;j++)
        {
            isprime[i*prime[j]]=false;
            if(i%prime[j]==0)  break;//保证每个合数被它最小的质因数筛去 
        }
    }    
}

埃筛和欧拉筛复杂度其实相差不是很多，更推荐埃筛，毕竟好写很多。