【日常刷题】最大公约数与最小公倍数问题

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最大公约数与最小公倍数问题

题面

题目描述

输入2个正整数x0,y0(2≤x0<100000,2≤y0<=1000000),求出满足下列条件的P,Q的个数。
条件:
P,Q是正整数
要求P,Q以x0​为最大公约数,以y0​为最小公倍数.
试求:满足条件的所有可能的2个正整数的个数.

输入格式：

2个正整数x0,y0

输出格式：

1个数，表示求出满足条件的P,Q的个数

输入样例

3 60

输出样例

4

说明

P,Q有4种
1、3,60
2、15,12
3、12,15
4、60,3

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题解

显然暴力枚举是不明智的，我们需要数学推导。

这里我们用 $x$代替 $x0$， $y$代替 $y0$。

设 $p=k1*x,q=k2*x$.在这里一定满足 $p,q$互质,即 $gcd(p,q)=1.$

由于 $a*b=gcd(a,b)*lcm(a,b)→p*q=k1*x*k2*x=x*y$.

化简，得： $k1*k2*x=y→k1*k2=y/x$.

若 $y\%x≠0$，显然无解。

我们因此可以在根号的时间内枚举 $y/x$的因数 $a,b$且满足 $gcd(a,b)=1$，说明是一组合法的解；由于顺序可以调换，答案需要 $+2.$

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$CODE$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int gcd(int a,int b)
{
    if (b==0) return a;
    else return gcd(b,a%b); 
}
int main()
{
    int a,b,sum=0;
    cin>>a>>b;
    int num=b/a;
    if (b%a!=0) { cout<<0; exit(0); }
    for (int i=2;i*i<=b/a;++i)
    {
        if (num%i!=0) continue;
        if (gcd(i,b/a/i)==1) sum+=2;
    }	
    if (num>1) sum+=2;
    if (sum==0) cout<<0;
    else cout<<sum<<endl;
    return 0;
}