CH3601 计算系数

题意

3601 计算系数 0x30「数学知识」例题

描述

给定一个多项式(ax+by)^k,请求出多项式展开后x^n*y^m项的系数。

输入格式

共一行，包含5 个整数，分别为 a ，b ，k ，n ，m，每两个整数之间用一个空格隔开。 

输出格式

输出共1 行，包含一个整数，表示所求的系数，这个系数可能很大，输出对10007 取模后的结果。 

样例输入

1 1 3 1 2 

样例输出

3

数据范围与约定

• 对于30% 的数据，有 0 ≤k ≤10 ； 
  对于50% 的数据，有 a = 1，b = 1； 
  对于100%的数据，有 0 ≤k ≤1,000，0≤n, m ≤k ，且n + m = k ，0 ≤a ，b ≤1,000,000。 

来源

CCF NOIP2011 D2T1

分析

根据二项式定理展开式子
\[ (ax+by)^k=\sum_{i=0}^k \binom{k}{i}a^ix^ib^{k-i}y^{k-i} \]
所以\(x^ny^m\)的系数是\(\binom{k}{n}a^n b^m\)，预处理逆元即可。

时间复杂度\(O(n \log n)\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
    rg T data=0,w=1;
    rg char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-') w=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
        data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
    return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x){
    return x=read<T>();
}
typedef long long ll;

co int P=10007;
int x,y,inv[1001];
int exgcd(int a,int b){
    if(!b) {x=1,y=0;return a;}
    int d=exgcd(b,a%b);
    int z=x;x=y,y=z-y*(a/b);
    return d;
}
int main()
{
//  freopen(".in","r",stdin),freopen(".out","w",stdout);
    for(int i=1;i<=1000;++i)
        exgcd(i,P),inv[i]=x;
    int a,b,k,n,m;
    read(a),read(b),read(k),read(n),read(m);
    int ans=1;
    a%=P,b%=P;
    n=std::min(m,n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        ans=ans*inv[i]%P*(k+1-i)%P;
    for(int i=1;i<=n;++i) ans=ans*a%P;
    for(int i=1;i<=m;++i) ans=ans*b%P;
    printf("%d\n",(ans%P+P)%P);
    return 0;
}