Pairs Forming LCM(素因子分解)

http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=109329#problem/B    

题意：在a,b中(a,b<=n)(1 ≤ n ≤ 1014),有多少组(a,b)  (a<b)满足lcm(a,b)==n;

 

先来看个知识点：

素因子分解：n = p1 ^ e1 * p2 ^ e2 *..........*pn ^ en

for i in range(1,n):

        ei 从0取到ei的所有组合

必能包含所有n的因子。

现在取n的两个因子a,b

a=p1 ^ a1 * p2 ^ a2 *..........*pn ^ an

b=p1 ^ b1 * p2 ^ b2 *..........*pn ^ bn

gcd(a,b)=p1 ^ min(a1,b1) * p2 ^ min(a2,b2) *..........*pn ^ min(an,bn)

lcm(a,b)=p1 ^ max(a1,b1) * p2 ^ max(a2,b2) *..........*pn ^ max(an,bn)

哈哈，又多了种求gcd,lcm的方法。

 

题解：

先对n素因子分解，n = p1 ^ e1 * p2 ^ e2 *..........*pk ^ ek，

lcm(a,b)=p1 ^ max(a1,b1) * p2 ^ max(a2,b2) *..........*pk ^ max(ak,bk)

所以，当lcm(a,b)==n时，max(a1,b1)==e1,max(a2,b2)==e2,…max(ak,bk)==ek

当ai == ei时，bi可取 [0, ei] 中的所有数  有 ei+1 种情况，bi==ei时同理。

那么就有2(ei+1)种取法,但是当ai = bi = ei 时有重复，所以取法数为2(ei+1)-1=2*ei+1。
除了 (n, n) 所有的情况都出现了两次  那么满足a<=b的有 (2*ei + 1)) / 2 + 1 个

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e7+5;
const int maxnn = 1e6+5;
unsigned int prime[maxnn],cnt;
bool vis[maxn];

void is_prime()
{
    cnt = 0;
    memset(vis,0,sizeof vis);
    for(int i = 2; i < maxn; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++] = i;
            for(int j = 2*i; j < maxn; j += i)
                vis[j] = 1;
        }
    }
}
int main()
{
    is_prime();
    int T,Case = 1;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        ll n;
        scanf("%lld",&n);
        int ans = 1;
        for(int i = 0; i < cnt&&prime[i]*prime[i] <= n; i++)
        {
            if(n%prime[i] == 0)
            {
                int sum = 0;
                while(n%prime[i] == 0)
                {
                    n /= prime[i];
                    sum++;
                }
                ans *= (2*sum+1);
            }
        }
        if(n > 1)
            ans *= 3;
        printf("Case %d: %d\n",Case ++,(ans+1)/2 );
    }
    return 0;
}

 https://www.cnblogs.com/shentr/p/5285407.html（原址）