一阶逻辑的语法和语义
命题逻辑是我们最先学的逻辑，比较简单，也比较好理解。
因为命题逻辑表达能力不够，所有我们又引入了一阶逻辑（First-order Logic），即FOL。FOL多了很多新概念新成分，增加了项来表示对象，增加了全称量词和存在量词。
FOL中的句子：
1）term（项）
常数符号，变量符号，或者函数符号
2）atomic sentence （原子语句）
谓词符号（with value true or false）
represents a relation between terms
3）complex sentence （复合语句）
Atom（s） joined together using logical connectives（逻辑连接词，与或非蕴含等价） and/or quantifiers
Concepts（FOL的一些概念）：
1）Literal（文字）
原子，原子的否定
2）Clause and Clause set（从句和从句集合）
disjunctions of literal （文字的析取）
3）CNF（conjunctive normal form，合取范式）
conjunction of disjunctions of literal （文字析取的合取范式）
CNFs不包括量词。 CNFs do not contain quantifiers!!!
解释
一阶逻辑中的解释把常量符号映射到对象，谓词符号映射成对象之间的关系，函词映射成对象上的函数。
全称量词和存在量词
全称量词通常接蕴含符号⇒ 。例如：所有的国王都是人。∀x King(x) ⇒ Person(x)
存在量词通常接合取符号∧ 。例如：有王冠在King John头上。 ∃x Crown(x) ∧ OnHead(x,John)
嵌套量词
Loves(x,y):x爱y
∀x∃y Loves(x,y)：每个人都会爱上某人
∃y∀x Loves(x,y)：存在某个人被每个人爱
- ∀x∀y is the same as ∀y∀x
- ∃x∃y is the same as ∃y∃x
- ∃x∀y is not the same as ∀y∃x
等词equality
除了使用谓词和项产生原子语句之外，一阶逻辑还有另一种构造原子语句的方式。可以用等词来表声明两个项指代同一个对象。
例如：Father(John) = Henry
加否定词时表示两个项不是同一个对象。
例如：Richard至少有两个兄弟。可写为：∃x,y Brother(x,Richard) ∧ Borther(y,Richard) ∧ ￢(x = y)
例如：Richard有两个兄弟John和Geoffrey。
错误：Brother(John,Richard) ∧ Borther(Geoffrey,Richard) ∧ ￢(John = Geoffrey)
正确：Brother(John,Richard) ∧ Borther(Geoffrey,Richard) ∧ ￢(John = Geoffrey) ∧ ∀x Borther(x，Richard) ⇒ (x=John ∨ x=Geoffrey)
模型检验在一阶谓词逻辑中是否可行?
如命题逻辑一样,蕴涵、有效性等都根据所有可能模型来定义。由于可能模型的数量是无限的,通过枚举所有可能模型以检验蕴涵在一阶逻辑中是不可行的。即使对象数量有限,各种组合的数量仍然可能非常大。如果有6个或更少对象,语句有2个常量、1个二元关系,会有137,506,194,466个模型。
运用一阶逻辑
一阶逻辑的断言和查询
TELL将语句添加到知识库。这样的语句叫断言。
例如,TELL(KB, King(John))
ASK向知识库询问问题。用ASK提出的问题被称为查询或目标。
例如,ASK(KB, King(John))
ASKVARS询问什么样的x使得语句为真
例如,ASKVARS(KB, Person(x))
亲属关系论域(the kinship domain)
谓词和函数的区别
- functions, which return values
- predicates, which are true or false
Function: father_of(Mary) = Bill
Predicate: father_of(Mary, Bill)
一元谓词:Male, Female
二元谓词:Parent 、 Sibling 、 Brother 、Sister 、 Child 、 Daughter 、 Son 、 Spouse、 Wife 、 Husband 、 Grandparent 、Grandchild 、 Cousin 、 Aunt 、 Uncle
函数: Mother、Father
母亲(mother)是指女性(female)家长(parent):∀m, c Mother©=m ⇔ Female(m)∧Parent(m, c)
丈夫(husband)则是指某人的男性(male)配偶(spouse):∀w, h Husband(h, w) ⇔ Male(h)∧Spouse(h, w)
女性(female)和男性(male)是两个不相交的集合：∀x Male(x) ⇔ ￢Female(x)
家长和孩子是反关系:∀p, c Parent(p, c) ⇔ Child(c, p)
祖父母(grandparent)是家长的家长:∀g, c Grandparent(g, c) ⇔ ∃ p Parent(g,p)∧Parent(p, c)
同胞(sibling)是某人家长的另一个孩子:∀x, y Sibling(x, y) ⇔ x ≠ y∧ ∃p Parent(p,x)∧Parent(p, y)
不是所有关于论域的逻辑语句都是公理,有些是定理——它们通过公理推导而来。
总结
本章介绍了一阶逻辑表示语言,它比命题逻辑表达能力更强。 本章的要点如下:
- 知识表示语言应该是陈述性的、可合成的、有表达力的、上下文无关的以及无歧义的。
- 逻辑学在本体论约定和知识论约定上存在着不同。命题逻辑只是对事实的存在进行限定,而一阶逻辑对于对象和关系的存在进行限定,因此有更强的表达力。
- 一阶逻辑的语法建立在命题逻辑的基础上。它增加项来表示对象,并且使用全称量词和存在量词对变元进行量化来构建断言。
- 一阶逻辑的可能世界或模型包括通过对象集和解释,解释把常量符号映射到对象,谓词符号映射成对象之间的关系,函词映射成对象上的函数。
- 原子语句仅在谓词所表示的关系在项所指代的对象上成立时为真。扩展解释将量化的变元映射到对象上,定义了量化语句的真值表。
- 用一阶逻辑开发知识库是一个细致的过程,包括对领域进行分析、选定词汇表、对推理结论必不可少的公理进行编码。
资源分享
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