leetcode 29.两数相除

题目描述

给定两个整数，被除数 dividend 和除数 divisor。将两数相除，要求不使用乘法、除法和 mod 运算符。

返回被除数 dividend 除以除数 divisor 得到的商。

示例 1:

输入: dividend = 10, divisor = 3
输出: 3

示例 2:

输入: dividend = 7, divisor = -3
输出: -2

说明:

被除数和除数均为 32 位有符号整数。
除数不为 0。
假设我们的环境只能存储 32 位有符号整数，其数值范围是 [−231, 231 − 1]。本题中，如果除法结果溢出，则返回 231 − 1。

解题思路

两数两除，不能使用乘法、除法和mod运算符，那么一个很简单的思路就出来了，就是不断的用被除数不断的减去除数，直到被除数小于除数的时候，结束迭代，但是如果这样做的话，势必会超时，举个例子 dividend=INT_MIN, divisor=1，如果这样迭代的话，就要花费很长的时间。
在计算机里，位运算的执行效率是非常高的，一个数字左移一位相当于除以2，右移一位相当于乘以2，那么就可以采用这样的方法来减少迭代次数。意思是，每一次相减都让除数的值翻倍，当然累加次数也要翻倍，直到dividend小于divisor的时候停止。举几个简单的例子

例子一: dividend = 10， divisor = 1

采用保留求解，就是10不停的减去1，那么需要循环十次。

采用位移的方法，是怎么操作的呢，看下面的表格，

首先建立一个临时的变量temp=divisor，让dividend去减temp，count记一，这时候发现dividend大于等于temp，那么dividor翻倍，count也翻倍，然后发现dividend仍然大于等于temp，temp继续翻倍，那么count也应该在原来的基础上翻倍（记录被减了多少次）；
再继续判断temp继续翻倍的话，dividend就小于temp了，这时候dividend=2，让此时的dividend去和divisor比较，发现dividend大于等于divisor，那么就继续把temp=divisor,循环上面的操作

上面写的步骤只是为了好理解，其实就是 dividend = 8 + 2 + 余数 = 2³*1 + 2¹*1 + 余数

dividend	temp	count
10 >= 2	1	1
10 >= 4	2	2
10 >= 8	4	4
10 < 16，此时10减去8，并与divisor比较	8	8 此时res+8
2 >= 2	1	1
2 < 4 此时 2减去2，并与divisor比较	2	2 此时res+2
	合计 res	10

例子二：dividend = 123， divisor = 3；

123 = 2⁵*3 + 2³*3 + 3

dividend	temp	count
123 >= 6	3	1
123 >= 12	6	2
123 >= 24	12	4
123 >= 48	24	8
123 >= 96	48	16
123 < 192 此时 123减去96，并与divisor比较	96	32 此时res+32
27 >= 6	3	1
27 >= 12	6	2
27 >= 24	12	4
27 <= 48 此时27减去24，并与divisor比较	24	8 此时res+8
3 < 6 此时 3减去3，并与divisor比较	3	1 此时res+1
	合计 res	41

通过上面的例子就可以知道，通过位移的方法可以大大加上迭代的次数，提高运算效率，具体代码如下

class Solution {
public:
    int divide(int dividend, int divisor) {
        if(divisor == 0 || dividend == 0){      // 被除数为零或者除数为零直接返回零
            return 0;
        }
        if(divisor == 1){     // 如果除数是1，就不需要额外的操作，直接返回被除数本身
            return dividend;
        }
        // 当被除数为INT_MIN, 除数是-1时需要特别注意，会出现溢出的情况，因为int范围是-2147483648~2147483647，相除的结果就是2147483648，当然是溢出；所以这里做一个特殊处理
        if(divisor == -1 && dividend == INT_MIN){  
            return INT_MAX;
        }
        bool sign = (dividend > 0)^(divisor > 0);  // 通过异或， 判断是不是异号
        long a = dividend, b = divisor;         // 这里把两个数转成long类型，并取绝对值，取绝对值是为了好运算，如果是不采用绝对值，就要分四种情况（--，++，+-，-+）来讨论反而更复杂
        a = abs(a);
        b = abs(b);
        int res = 0;
        while(a >= b){  // 如果a<b,那么循环终止
            int count = 1;
            long temp = b;
            while(a >= (temp<<1)){  // 不断的采用位移操作，尽可能减去最大的除数的倍数
                temp = temp << 1;
                count = count << 1;
            }
            a -= temp;
            res += count;
        } 
        // 通过sign判断是否异号，并在结果res上添加对应符号
        return sign ? -res : res;
    }
};

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黑暗主宰

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