Leetcode221 最大正方形
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/maximal-square/
博主Github：https://github.com/GDUT-Rp/LeetCode
题目：
在一个由 0 和 1 组成的二维矩阵内，找到只包含 1 的最大正方形，并返回其面积。
示例 1:
输入:
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
输出: 4
解题思路：
在给定
的矩阵中，我们需要找到在矩阵中由 1 组成的最大正方形。
换句话说，我们需要在矩阵中找到由 1 组成最大连通的正方形，并返回其面积。
方法一：暴力法
直观想法
最简单的方法是找出矩阵中所有可以形成的 1 正方形。现在的问题是如何做到这一点？
- 我们用一个变量去来记录迄今为止发现的最大正方形的边长，以及用一个变量记录当前正方形的大小，两个变量都初始化为 0；
- 从矩阵的左上角开始搜索 1，找到 0 不需要做任何操作，只要找到 1 我们就试图找到由 1 组成的最大正方形；
- 为此我们向右和向下移动，临时增加列索引和行索引，然后用标志标记该行列是否全都为 1；
- 如果全都为 1，则继续检索行列，如果找到 0，便停止移动，更新最大正方形的边长。然后从最初发现 1 的元素旁边遍历矩阵，直到矩阵的所有元素都被遍历。
C++
class Solution {
public:
int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
}
};
Java
public class Solution {
public int maximalSquare(char[][] matrix) {
int rows = matrix.length, cols = rows > 0 ? matrix[0].length : 0;
int maxsqlen = 0;
for (int i = 0; i < rows; i++) {
for (int j = 0; j < cols; j++) {
if (matrix[i][j] == '1') {
int sqlen = 1;
boolean flag = true;
while (sqlen + i < rows && sqlen + j < cols && flag) {
for (int k = j; k <= sqlen + j; k++) {
if (matrix[i + sqlen][k] == '0') {
flag = false;
break;
}
}
for (int k = i; k <= sqlen + i; k++) {
if (matrix[k][j + sqlen] == '0') {
flag = false;
break;
}
}
if (flag)
sqlen++;
}
if (maxsqlen < sqlen) {
maxsqlen = sqlen;
}
}
}
}
return maxsqlen * maxsqlen;
}
}
Python
class Solution:
def maximalSquare(self, matrix: List[List[str]]) -> int:
方法二：动态规划
直观想法
我们用一个例子来解释这个方法：
0 1 1 1 0
1 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
-
我们用 0 初始化另一个矩阵
dp，维数和原始矩阵维数相同； -
dp(i,j)表示的是由 1 组成的最大正方形的边长； -
从 (0,0) 开始，对原始矩阵中的每一个 1，我们将当前元素的值更新为
-
我们还用一个变量记录当前出现的最大边长，这样遍历一次，找到最大的正方形边长 ，那么结果就是 。
可以通过下面的图来理解该工作原理：
C++
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
class Solution {
public:
int maximalSquare(vector<vector<char>> &matrix) {
int rows = matrix.size();
if (!rows){
return 0;
}
int cols = rows > 0 ? matrix[0].size() : 0;
int dp[rows + 1][cols + 1];
memset(dp, 0, sizeof(dp));
dp[1][1] = matrix[0][0];
int max_sqlen = 0;
for (int i = 1; i <= rows; ++i) {
for (int j = 1; j <= cols; ++j) {
if (matrix[i - 1][j - 1] == '1') {
dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
max_sqlen = max(max_sqlen, dp[i][j]);
}
}
}
return max_sqlen * max_sqlen;
}
};
Java
public class Solution {
public int maximalSquare(char[][] matrix) {
int rows = matrix.length, cols = rows > 0 ? matrix[0].length : 0;
int[][] dp = new int[rows + 1][cols + 1];
int maxsqlen = 0;
for (int i = 1; i <= rows; i++) {
for (int j = 1; j <= cols; j++) {
if (matrix[i-1][j-1] == '1'){
dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
maxsqlen = Math.max(maxsqlen, dp[i][j]);
}
}
}
return maxsqlen * maxsqlen;
}
}
Python
class Solution:
def maximalSquare(self, matrix: List[List[str]]) -> int:
复杂度分析
- 时间复杂度： 。
- 空间复杂度： ，用了一个大小相同的矩阵 dp。
方法三：动态规划优化
直观想法
在前面的动态规划解法中，计算 行（row）的 dp 方法中，我们只使用了上一个元素和第 行，因此我们不需要二维 dp 矩阵，因为一维 dp 足以满足此要求。
我们扫描一行原始矩阵元素时，我们根据公式： 更新数组 dp，其中 prev 指的是 ，对于每一行，我们重复相同过程并在 dp 矩阵中更新元素。
C++
class Solution {
public:
int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
int rows = matrix.size();
if (!rows) {
return 0;
}
int cols = rows > 0 ? matrix[0].size() : 0;
int dp[cols + 1];
memset(dp, 0, sizeof(dp));
int max_sqlen = 0, prev = 0;
for (int i = 1; i <= rows; ++i) {
for (int j = 1; j <= cols; ++j) {
int temp = dp[j];
if (matrix[i - 1][j - 1] == '1') {
dp[j] = min(min(dp[j - 1], prev), dp[j]) + 1;
max_sqlen = max(max_sqlen, dp[j]);
}else{
dp[j] = 0;
}
prev = temp;
}
}
return max_sqlen * max_sqlen;
}
};
Java
public class Solution {
public int maximalSquare(char[][] matrix) {
int rows = matrix.length, cols = rows > 0 ? matrix[0].length : 0;
int[] dp = new int[cols + 1];
int maxsqlen = 0, prev = 0;
for (int i = 1; i <= rows; i++) {
for (int j = 1; j <= cols; j++) {
int temp = dp[j];
if (matrix[i - 1][j - 1] == '1') {
dp[j] = Math.min(Math.min(dp[j - 1], prev), dp[j]) + 1;
maxsqlen = Math.max(maxsqlen, dp[j]);
} else {
dp[j] = 0;
}
prev = temp;
}
}
return maxsqlen * maxsqlen;
}
}
复杂度分析
- 时间复杂度： 。
- 空间复杂度： ，用了一个大小相同的矩阵 dp。
