PAT A1010 Radix

PAT A1010 Radix

Sample Input 1:

6 110 1 10

Sample Output 1:

2

Sample Input 2:

1 ab 1 2

Sample Output 2:

Impossible

word	meaning
Radix	基数
while that of the other is given	当另一个已经给出时

• 思路：将已知radix的n转化为十进制 ^[Q1] , 再找出^[Q2]可以使另一个n转化为十进制以后相等的radix；

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Q1：ToDecimal()的注意点：

case1：存储方式，已经数据范围：假设n1,radix1已知
radix1是题目给出的（一定合理，故<=35），n1最多有10位，所有转化为十进制数最大为：34 * (35⁹ + 35⁸ + … + 35¹ + 35⁰ ) <= 35¹⁰ < 2⁶⁰ < 2⁶³，所有n1转化为十进制数是在long long的范围内的（[-2⁶³ , 2⁶³-1]）
为了避免类型强制转化出错，所有整型都用了long long
【注意：已经给出的进制一定<=35，因为多了没有字母哪来表示了，而另一个（要求radix的）的进制可能超过35】

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Q2: 求另一个（假设为n2）的radix：
这是一个查找问题：
首先想到的是暴力法 从2开始枚举：会有2组数据出错（样例0、样例7：得分23/25，其实…就差不多了）

进一步优化，可以发现有序性：radix越大，转换为十进制数越大，因为转换为十进制是累加每一位i*radix^i-1，故可以采用二分法来查找n2的radix，这里又引出了问题：Q2-1：二分的上下界
Q2-1：
下界lower很好确定：一定是n2中最大的位 + 1，如 10a3bf812 中 f最大，radix最小应为f+1即（16进制）
上界upper的确定：开始的时候我以为也是不超过35，结果Wrong，后来想到：比如n1 = 1000000000; n2 = 10;，n1的进制已知为35 , 则若n1==n2，n2的进制应取: 35⁹ 。

当n2取最小时（即10，至少有2位，只有一位最大35，radix就不会超），n2转化为十进制为 1 * radix2 ¹。换句话说，n2 转化为十进制一定比他的基radix2大，
即ToDecimal(n2) > radix2，即ToDecimal(n1) > radix2；（ToDecimal(n1) == ToDecimal(n2)），上界最大为: ToDecimal(n1)+1;

还有一个特殊情况就是，如果n1转化为十进制以后的数ToDecimal(n1)比lower还小，比如n2 = 10a3bf812; ToDecimal(n1) = 5; 如果upper还取 ToDecimal(n1)+1，上界比下界lower还小了！这时应取上界为lower+1；

case1：要求n2 转化为10进制可能会超过long long 范围，因为radix2可能超过35，所有需要判断是否溢出，若溢出（< 0）应按INF算

…好乱啊啊啊啊啊啊！…

• code ：

#include <bits/stdc++.h>
#include <string>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll INF = (1ll << 63) - 1; 

ll GetDigit(char c){
	if(islower(c)) return c - 'a' + 10;
	else return c - '0';
}
ll ToDecimal(string s, int r){
	ll ans = 0;
	for(int i = 0; i < s.size(); ++i){
		ll dig = GetDigit(s[i]);
		ans = ans * r + dig;
	}
	return ans;
}
ll BinSearch(ll left, ll right, string s, ll x){
	while(left <= right){
		ll mid = (left + right) / 2;
		ll tmp = ToDecimal(s, mid);
		if(tmp == x){
			return mid;
		}else if(tmp < 0){	//Wrong 1: 样例0， 样例7，待查询n转换为10进制时溢出 
			right = mid - 1;
		}else if(tmp > x){
			right = mid - 1;
		}else{
			left = mid + 1;
		}
	}
	return -1;
}
ll GetMaxDigit(string s){
	ll Max = 0;
	for(int i = 0; i < s.size(); ++i){
		Max = max(Max, GetDigit(s[i]));
	}
	return Max;
}
int main(){
	vector<string> s(3);
	ll tag, radix;
	cin >> s[1] >> s[2];
	scanf("%lld %lld", &tag, &radix); 
//	if(s[1] == s[2]) printf("%lld", radix);	//判特：样例 10： 可以剪一枝 
	ll cmp = ToDecimal(s[tag], radix);	// other = s[3-tag]
	ll lower = GetMaxDigit(s[3-tag]) + 1;
	ll upper = max(lower, cmp) + 1;
	ll ans = BinSearch(lower, upper, s[3-tag], cmp);
	if(ans != -1) printf("%lld", ans);
	else printf("Impossible");
	return 0;
}